vom ersten Grade zwischen zwei ganzen Zahlen. 11 



vermöge welcher an die Stelle der gegebenen Gleichung der Reihe nach fol- 

 gende anderen treten : 



/" a„ A\ = a , a-„ + Je, 



r/j a\, = a., .i', — k, 

 a^ a-3 = «3 a- , + k. 



38. 



-3 = ('.-,^-*-\-2±1-, 

 .1 = "„-I -"^\ ± A'. 



Das obere Zeichen gilt wenn Ji gerade und das untere wenn n ungerade ist. 



Kun ist zu bemerken, dafs a^ mit a., keinen Factor > i gemein haben 

 kann, eben so wenig wie a.-, mit a,; denn ginge eine und dieselbe Zahl, > i, 

 in öj und a., auf, so müfste sie vei-möge ("28.) auch in «, aufgehen, und folg- 

 lich hätten a„ imd a^ einen gemeinschaftlichen Factor; welches der Voraus- 

 setzung entgegen ist. Aus gleichem Grunde können «^ und a^ keinen Factor 

 gemein haben ; denn wäre ein solcher vorhanden , so miifste er vermöge 

 (.}"2.) auch in a., aufgehen, und folglich hätten a, und a^ einen Factor ge- 

 mein, welches, wie so eben gezeigt, nicht der Fall ist. Ferner können a^ 

 und a^, a^ luid a^ u.s.w. keinen Factor > i gemein haben. 



Nun ist, wie oben bemerkt, a^ in ("28.) jedenfalls wenigstens um i 

 kleiner als a^ und in (32.) a^ wenigstens inn i kleiner als «,. Eben so ist 

 «5 wenigstens um i kleiner als a^, a^ wenigstens um i kleiner als a^ u. s.w. 

 Es folgt also, dafs man mit den obigen Gleichungen nothwendig auf ein «„ 

 kommen mufs, welches Null ist; denn die Reihe «,, a.,, «3 • • • • a^ nimmt 

 immerfort, jedes Glied bis zu dem nächsten nothwendig, wenigstens um i ab, 

 geht aber nicht nothwendig in negative Zahlen über: also kann sie nur in 

 Null endigen. 



Sodann ist zu bemerken, dafs, wenn z. B. «„ = ist, auch nothwen- 

 dig o„_, = 1 sein mufs; denn, in der letzten der Gleichungen (36.) a„ = 

 gesetzt, giebt 



30. (7„_„ = p^_„ a„_, , 



woraus folgt, dafs «„_, in a^_„ aufgehen mufs, was aber nur dann mög- 

 lich ist, wenn o„_, = 1 ist, weil, wie vorhin gezeigt, a„_., und «„_, keinen 

 Factor > 1 gemein haben können. 



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