V0171 CTSten Gi-ade zwischen zwei ganzen Zahlen. 43 



20. 



Es könnte scheinen, dafs sich die Reduction nach dieser Methode 

 auch sogleich auf hei de Coefllcientcn der gegehenen Gleichung ausdehnen 

 lasse. Allein die Resultate davon gewähren entweder nur eine Yei-änderung 

 des hestininiten Gliedes k der gegehenen Gleichung, oder sie kommen auf 

 die des vorigen Paragraphens zurück. 



So wie man nemlich setzen darf: 



177. X^= X^a^ + V ^ (1 !•">), 



so darf man auch setzen: 



178. o-, =j,A, + i/,, 

 wo 



179. a^■=■a^ß^ (141.) lUld a^, = A,£,. 



Die Ausdrücke (177.) und (178.) nun in die gegebene Gleichung 

 (138.) gesetzt, verwandeln dieselbe in: 



A, £, (a-3 «, + ts) = «, /3, (j3 A, + f/,) + A-, oder in 



(£,a:j — /3,j3)a, A, = a,/3, ?/, — A, e, x\ + l\ oder in 

 (£,a'3 — /3,j3)«,A, =z a,u, — a.,v, + A-, oder in 



ISO. £,a% = /3, 



a , II , — a„ i' , -t- A- 



Also mufs öj u, — «2^', + ^'•' mit «, A, aufgehen, d. h. es mufs 

 ö, u, — a,T', 4- /l = 77i«, A, oder 



181. a.^v^ ^ a^u^ + k — 7?ja,A, 

 sein, wo iii willkührlich ist, worauf denn (180.) in 



182. £,.r3 = /3,j3 + 7?i 



übergeht. Die gegebene Gleichung ist also auf die beiden (181.) und (182.) 

 reducirt worden. Die Coefücienten £, imd ß, von (182.) sind zwar kleiner 

 als diejenigen der gegebenen Gleichung, aber nicht kleiner als die von (181.) ; 

 also ist im Allgemeinen durch (181.) nur eine Reduction von k ei'reicht 

 worden. Setzt man aber z. B. A, = i, in welchem Falle das Glied a^u, in 

 (180.) mit «, aufgeht imd also aus der Rechnung wegfällt, so kommt die 

 Reduction auf diejenige des voi'igen Paragraphens ziu'ück. 



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