zur Theorie der Berührungen. 57 



Hieraus folgt nun : 



■J/x+k — (px+k = A- < h r—, 1-5 H 5 3 -r-^ >• 



' I äx 1 • J (ix ^ 1 • • • « dx J 



\i/.rijrit5 (px-^k sind die Coordinaten r eines Punktes der Kurve %!' und eines 

 Punktes der Kurve (/), in einander fallend und von der gemeinschaftlichen 

 <px entfernt nur die Gerade k. Nehmen wir erstcre als die gröfsere an und 

 nennen ihren Unterschied: D » y, so ist D «7 in Beziehung auf die a* die 

 Höhe, in Avelcher sich der positive Zweig der \^ über den der (p erho- 

 ben hat. 



Da mui in der Gleichung 



i>.^=7,{i%^L+/,.K-j.} 



das Product kFx.k durch Verkleinerung des /t kleiner gemacht werden kann 

 als jede gegebene Gröfse, imd die Function — Jj *" '^on A- unabhängig 

 ist, so wird, wenn k klein genug gemacht wird, die eingeklammerte Gröfse 

 für jedes kleinere 7t positiv sein, wenn — "^^Y^ ' >o und negativ, wenn 



d "^x — d (px 



-di <0- 



Setzen wir — k statt + k, so erhalten wir das D »j auf der negativen 

 Seite des j-. Bezeichnen wir dieses mit 1> »j', so ist 



z>.,. = -/,{^%^-;.f.-.}. 



Ist also — ,~),. > f') so ist D »y positiv imd D • >• negativ, mithin liegt 

 dann der positive Zweig der Kurve -J/ über dem der Kui've (p und der nega- 

 tive der -Jy unter dem der (p ; ist ,7r "^ '^' ^° findet das entgegengesetzte 

 statt ; in beiden Fällen also schneiden sich die beiden Kurven in ihrem Treff- 

 punkte. Dies wird jederzeit stattfinden, so lange ' '^'7, ■ eine angebbare 

 Gröfse ist. V^iv können aber jederzeit setzen: 



d -^7 — d (jix 



- = 0. 



dx 



Sei die \Yui'zel dieser Gleichung a',-=zx', so erhalten wir 

 Mathemat. Ahhandl. 1836. H 



