zur Theorie der Herührunsen. 59 



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wird, eine dritte Kurve durch den Treffpunkt zu ziehen, welclie eine von 

 beiden mit einer kleineren Ablenkung berührte, als eine die andere. 



Die Berührung einer Kurve mit einer Geraden macht hiervon Aus- 

 nahme. Denn ist für die Gerade die Gleichung y = \/..7', so ist -4^ := o ; 

 wogegen jederzeit für irgend eine Kurve, deren Gleichung j = ipj ist, ß'f - 

 eine angebbare Gröfse =:ßP~ ist, weil darin der wesentliche Unterschied liegt 

 des Geraden von dem Ki'ummen. Es kann aber dann niemals o — Jy = o 

 werden durch irgend eine Änderung der Constanten in fP~. Eine Kurve 

 kann daher eine Gerade nur auf einer Seite berühren, wogegen jede Kiu-ve mit 

 einer anderen auf jeder ihrer beiden Seiten eine Berührung eingehen kann. 



Zu mehrerer Erläuterung des eben gesagten nehmen wir den beson- 

 dern Fall einer Berührung des Kreises von einer Geraden zu Hülfe. Wir 

 nennen: ■$ diese Berührende, imd: (s,x) den Winkel, welchen sie mit der 

 positiven Richtung der a- macht, von dieser nach s hin gezählt. Die Glei- 

 chung der Berührenden sei : y = -4^7, die des Kreises : y ^ ^^. Dann ist : 



d ■^'.c _ d (l>.v .t- — « 



wenn a, ß die Coordinaten sind des Mittelpunktes des Kreises, in der Rich- 

 tung der cc,y. Die Bedingung der Berührung giebt nun die Gleichung 



-i; — a 



tgÄ,a- = :,-. 



<-' j — /-i 



Ist nun blos die Lage der berührenden duich {s,.v) und ist der Ort des Mit- 

 telpunktes durch u, ß gegeben, so bleibt der Berührungspunkt (.r,j-) unbe- 

 stimmt ; ist aber auch die Länge des Halbmessers gegeben, so kommt dadurch 

 die Bedmgimg hinzu, dafs der Berührungspunkt in dem mit demselben zu 

 beschreibenden Kreise liegen, also, wenn wir die Länge des Halbmessers = ^ 

 setzen, dafs 



§'=(x — ay+j — ß' 



= ü-ßr(-<-C^;)y 



^ cr-ßy- 



cos '(s,.r) 



sein müssen, wodurch _j einen doppelt verschiedenen Werth erhält 



y := ß ±§ cos s,cc, 

 mithin der Berührungspunkt auf zweifache Weise bestimmt wird. 



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