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Wird nun durcli diesen eine zweite Gerade : s' gezogen, so mufs (s', jc) 

 von (s,.r) vei'schieden sein, wenn sie nicht in die s sel!)st fallen soll. Es 

 kann daher für den durch obige Bedingungen gegebenen Punkt (..Vjj") nicht 

 sein: 



tg(.,a:)=--— ^- 



s kann also den Ki'eis nicht in demselben Punkte berühren ; sie wird ihn 

 folglich schneiden und daher auf einer Seite dieses Punktes ein Bogen des 

 Kreises zwischen die beiden Geraden: s und s', auf der andern die s zwischen 

 die *' und den Kreis fallen. Und dieses ist das Theorem des Euklides, dafs 

 zwischen einen Kreis imd die ihn berührende keine zweite Gerade gezogen 

 werden könne, ein Theorem, welches später auch auf die Berührung einer 

 Kugeloberfläche von einer Ebene seine Ausdehnung erhalten hat. 



Aus der Gleichung : y = -^y^, einer ihrer Lage nach gegebenen Gera- 

 den imd aus der des Ki-eises folgt ferner: 



dx- ' dx'^ fCOS^(i, i) 



Die Bedingung also eines Gröfsten der Berührung ist : 



I 



^ cos (s,.v) 



welcher, wenn die Lage der Berührenden gegeben ist, nur durch fortgesetzte 

 Vergröfserung des ^ sich angenähert, nie aber ihr genügt werden kann. 



Für die Berührung eines Kreises mit einem zweiten ist die allgemeine 

 Bedingungsgleichung 



a- — et x — «' ^ 



nr= — tg*,a7. 



j — ß j — ß' 



Ist nun der Mittelpvmkt des einen durch : a, ß, gegeben, so kann durch eine 

 entsprechende Bestimmung der «', ß' dieser Bedingung durch jeden Punkt 

 in der durch die Gleichung 



(.v — a) = —(y — ß)t^s,x 



gegebenen Geraden, als Mittelpunkt des zweiten Kreises genügt wei'den. 

 Für ein Gröfstes aber der Berührung beider Kreise müfste sein: 



^ cos ' {s, ,r) f ' COS ' (s, i) 



