zur ThcoTie der Berührungen. Gl 



welches nur stattfinden kann für £' = ^. ^vo dann beide Kreise in einander 

 fallen. Andererseits aber wird diese Differenz durch Änderung der Länge 

 des einen Halbmessers, während der zweite ungeändert bleibt, sowohl positiv 

 sein als negativ werden, mithin die Berührung eben sowohl auf der hohlen 

 als auf der erhabenen Seite des einen Kreises von dem andern stattfinden 

 können, welches bei der Berührung mit einer Geraden nicht möglich ist. 



Für die Berührung des Kreises und irgend einer beliebigen ebenen 

 Kurve, deren Gleichung y ^ -i/^T, sind die Bedingungsgleichungen 



dV.r f— d<px x — n , 



dx •' dx y — p ° 



und 



do 4^1 j^- d., <p7 1 



dx'^ ' dx- ^ COS ' s,.V 



Diesen kann jederzeit genügt werden; mithin zwischen dem Kreise und 

 irgend einer ebenen Kurve nicht nur eine Berührung, sondei'n auch das 

 Maximum emer Berührung stattfinden. 



Der Kreis, welcher der ei'sten Bedingung genügt, nennen wir: Be- 

 rührungskreis, den, welcher der zweiten genügt : Krümmungskreis. 



Dies, imd dafs der Kreis die einfachste aller ebenen Kurven ist, hat 

 seine in allen seinen Punkten sich gleichbleibende Krümmung zu einem all- 

 gemeinen Maafsstabe gemacht der Krümmungen jeder gegebenen in einer 

 Ebene liegenden Kurve. Es ergiebt sich aber aus dem gesagten : 



1) Zwei ebene Kurven berühren sich in einem Pimkt, wenn die ihnen 

 entsprechenden Berührungskreise sich darin berühren. 



2) Das Maximum ihrer Berührung ist gleich der Berührung der beiden 

 Kreise, deren jeder mit der ihm entsprechenden Kui've ein solches 

 Maximum eingegangen ist. 



3) Ein solches IMaximum findet für jede Berührung der beiden Kiirven 

 mit einander statt; denn durch ihren Berührungspunkt lassen sich 

 jederzeit zwei Kreise legen, deren jeder mit der ihm entsprechenden 

 Kurve ein Maximum der Berührung eingeht; mit andern Wollen: 

 wenn die beiden Kurven sich berühren, so läfst sich zwischen jede 

 von ihnen und ihren Krümmungskreis keine andere Kurve ziehen, 

 welche eine gröfsere Berührung mit ihr eingehen könnte. 



