ur Theorie dci' Bci'üJiriiinrcn. 63 



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liegenden, treffen mufs. Legen wir nun durch einen der letzteren eine be- 

 rührende gerade, und beschreiben durch allmähliche Änderung ihrer Lage 

 den ganzen Umfang der Biegung von dem einen Endpunkte bis zum andei'n ; 

 nennen wir sie: s und ihren sich stets ändernden ^Yinkel mit der Axe der .r: 

 (s,x), so wird t^s,x in solchem Umlaufe nothwendig sein Vorzeichen wech- 

 seln, ohne durch co zu gehen ; mithin mufs es in dem Bogen einen Punkt 

 geben, für welchen tg s, cc = ■ ' ^^ = o , also die Berührende der Axe der 

 cc parallel liegt. Wählen wir nun die einer solchen Berührenden parallele, 

 beide Biegungen schneidende Chorde für ein rechtwinkliches Coordinaten- 

 system, worauf wir die Kune beziehen, zur Axe der a-, so mufs offenbar die 

 Ordinate y für einen Punkt der Biegung ein Gröfstes werden, imd, weil das 

 gesagte ebenso für jede andere Biegung gilt, so wird für dieselbe Axe der a-, 

 auch in der zweiten angrenzenden Biegung ein Gröfstes der y stattfinden, 

 welches aber negativ wird, wenn wir das ersterwähnte gröfste j' als nach der 

 positiven Seite hin gerichtet annehmen. 



Die Kurven zweiter Ordnung haben keine Wendungen, daher nur 

 eine Biegung in ihrem ganzen U^mfange ; daher, wie auch für sie die Axe der 

 X gelegt werde, küunen sie nur in zwei Punkten von ihr geschnitten werden. 



Hieraus folgt, dafs für sie in der Gleichung : y = (px diese Function 

 eine quadratische sein mufs, weil nur tniter dieser Bedingung das x auf eine 

 zweifache Weise so bestimmt werden kann, dafs 7 für das eine und für das 

 andere = wird. Haben sie jedoch ins U^nendliche auslaufende Zweige, so 

 läfst sich die Axe der x allerdings so legen, dafs sie niu- in einem Punkte die 

 Kurve trifft und einen zweiten nirgend erreicht. In dieser Lage der Axe ist 

 für eine solche Kurve kein Gröfstes füry möglich: denn könnte, für irgend 

 einen Punkt, tg*, o- = werden, so müfste es in dem nächsten sein Vorzei- 

 chen wechseln, und da die Kurve nur eine Biegung hat, so müfste sie in 

 ihrem Fortgange entweder in sich selbst zurückkehren, oder sich spiralförmig 

 einem Punkte annähern, beides der Annahme zweier ins unendliche fort- 

 gehender Zweige entgegen. 



Ist ^.7 eine Function höheren Grades als des zweiten, imd ihr Expo- 

 nent = n eine ganze Zahl, so wird die Axe der x, welche sie in ?i verschie- 

 denen Punkten schneidet, in Chorden von n — 1 Biegungen zerlegt. Die 

 Kurve hat folglich, weil zwei Biegungen eine Wendung bedingen, n — 2 



