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Sei nämlicli für a: = x„, y ein positives Maximum = A. Setzen wir 



dann: '■'■■• 



u = j — A = (px—A, 



so wird x^ eine reale Wurzel der Gleichung für u und zwar eine zweifache, 

 weil nun die Axe die Kurve selbst berührt und daher in dem Berührungs- 

 punkte x^ zwei Durchschnitte der Axe in einen zusammenfallen. Setzen 



wir also 



j = <p7—z 



und z> A, so entfernt sich die Axe von ihrer vorigen Lage über das Maxi- 

 mum A hinaus, und die Gleichung ip7- — ;; hat dann zwei reale Wm-zeln 

 weniger als die </).7. 



Um das Gesagte zu versinnlichon, wollen wir es auf die Gleichung 



des ß"" Grades 



y =. x^ — ax^ +hx — c = <px 



in Anwendung bringen. Sie giebt für das Maximum oder Minimum 



d<px 2 j 



- — = 3 07 — 2 aa- + 6 = 



dx 



und die Auflösung dieser Gleichung giebt : 



a ± Va'-—?.b 



Da ferner ^-^^^ ■= 6x — 2a, so wird y ein Minimum für x = 1L±-!-^ — 1_ 

 und ein Maximum für a- = "~ ~ ' \ Das eine wie das andere ist reel, 

 wenn 3 6 < «, oder aucli b negativ, wie in der Gleichung 



y = x^ — ax^ — bx — c = cpx . 



Beides aber ist imaginär, wenn b positiv inid ib> a. 



Hat die Gleichung 



y = x^ — ax^ -+- bx — c 



drei reale Wurzeln, so ist jederzeit a' > ib. Denn wenn wir die drei Wur- 

 zeln nennen: «, ß, y, nach ihrer Gröfse aufeinander folgend, so erhalten wir 



(a + ß + y)" = a' ; 3(«/3-t- ay -i- ßy) = ib 

 und daher 



a'-.ib = (a-y)(a-ß) + (ß-yy ' ' 



jederzeit positiv. 



