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den Berührungspunkt mit einem auf der berührenden Ebene senkrechten 

 Halbmesser eine Kugeloberfläche beschrieben, so wird diese ganz in dem- 

 selben Sinne, wie der Berührungskreis einer ebenen Kxu've, die Berührungs- 

 kugel der Kiu"ve doppelter Krümmung sein, was auch die einzelnen Elemente 

 dieser Kurve für eine Lage im Raum haben mögen. Auf dieselbe Weise, 

 wie oben die Bei'ührung eines Kreises mit einer ebenen Kurve, wollen wir 

 jetzt die einer Kugel mit einer krummen Oberfläche erörtern, in welche die 

 Kurve doppelter Krümmung eingeschrieben sein möge. 



5. Die Punkte einer solchen Kurve können, da nicht zwei derselben 

 aufeinanderfolgend in einer Ebene liegen, analytisch nicht anders dargestellt 

 werden, als bezogen auf die Coordinaten x, y, ;;, die aufeinander rechtwink- 

 lich sein mögen. Ziehen wir nun durch einen Punkt der Kurve eine auf die 

 ihn berührende Ebene senkrechte Gerade, und beschreiben in einem in ihr 

 liegenden Halbmesser = ^ eine Kugeloberfläche durch denselben Punkt, 

 deren Mittelpunkt die den Jc, y, z parallele Coordinaten a, b, c habe, so ist 

 für den Punkt a-, j-, z in der Kugeloberfläche 



(1) ?' = i^r-ar+(r~hy+ (z-cy. 



Da a, b, c imd o sich nicht ändern, während die Punkte a:, y, z in der Ober- 

 fläche sich ändern, so ist 



(2) = (a- — a) dcc + (y—b) dy +{z — c) dz, und 



(3) = (.1- — ci)d' cc -h(y — b) d\Y -H (r. — c) d" z + J.r ' + Jr ' + dz\ 



ydx^ + dy^ 4- dz^ =. ds das Differenzial irgend eines Durchschnittes einer 

 durch den Berührungs- und den Mittelpunkt gelegten Ebene mit der Kugel- 

 oberfläche. 



Multipliciren wir die Gleichung (i) nach und nach mit d" x, d^ y, d^ z, 

 und die Gleichung (3) mit Ja-, dy, dz, und ziehen jedesmal das zweite dieser 

 Producte von dem ersteren ab, so erhalten wir die Gleichungen : 



(4) (y—b) (dyd'x — dxd'y) + {z — c) {dzd'x — dxd'z) = dxds\ 



(5) (.r — a) (dx d'y — dy d' a-) + {z — c) (dz d'y — dy d" z) = dy ds' , 



(6) {x — d) (dx d^z — dz d" x) + iy—b) {dy d^ z — dz d^ y) = dz ds' . 



Schneiden wir die Kugeloberfläche durch deren Mittelpunkt mit einer 

 Ebene, welche wir zur Coordinaten-Ebene der x,y bestimmen, so wird c = o. 



