SW7' Theorie der Berührungen. 71 



Ziehen wir in derselben einen Durchmesser: D, welcher gegen die Axe der 

 y unter dem spitzen Winkel £ geneigt sei, und legen durch D und den Punkt 

 ccyz eine Ebene: U, fällen wir nun aus diesem Punkt eine senkrechte, w, 

 auf Z). Ihr Winkel mit ^ist: ('/,-■) und der Neigungswinkel: {U,jcj) ist 

 z=z (yo*^ — {u,z)). Die Entfei-nung des Kugel-Mittelpunktes von u sei =: /. 

 Hiernach finden folgende Gleichuugen statt : 



(7) i-x — ä) = u sm{ii,z) cosE — ts,\n.E, 



(8) {y — ^>) ^= u sin{u , z) sm E + t cos E, 



(9) -; = u cos {u, z) . 



Daraus die Differenzial- Gleichungen: 



(a) dcv = du sm {it , z) cos E — dt s'inE, 



(b) dy = du sin (u , z) sin E -i- d l cosE, 



(c) dz z= du cos(u,z), 



(d) d\i- = d' u sin [u, z) cos E — fZ' / sin E, 



(e) d'y^d'u sin {u, z) sin E + d' t cos E, 



(jT) d' z = d'^u cos {u,z). 



Und aus dreifacher Combinirung dieser sechs Gleichungen bekommen wir 

 folgende drei: 



(10) (dxd'y — dyd' ^c) =. (du d' t — dl d' u) sin iii,z), 



(11) {dxd'z — dzd\v) =1 {dud't — dt d' u) cos {u,z) sin E, 



(12) {dy d'z — dz dy) = - {du d- 1 — dt d' u) cos (w, z) cos E. 



Nun ergeben sich aus (4), (3), ((,), (7), (8), (9), (10), (11), (12): 



(13) (r — i) (</jd- x — d.vd^j) = — {(lud- i — dt d' u) sin (u, ;) \u sm{u,:) sin £-+- / COs£| 



(14) z{dzd-jc — d,Kd-z) = — {dud^t — dtd''u)cos{u.zy-. Us\nE 



dx ds^ = — (du d- 1 — dt d' u) \ii sin K -\- t s\n {u, z) COS -E| 



(15) (.1 — a) (dxd^f — rf/ d- ..) = (du d^t — dtd-u) sin («, z) \u sin («, z) COS E—t sin E] 



(16) zidzd^f — d/d^ z) = (dud^ t — d/d' u) cos (u,z)^ .(/' cos E 



dy ds^ = (dud^ t — dtd-u)iu cos E — t s\n (^u , z) sin E^ 



(17) {x — a){dxd'^z — dzd'Kx) = {dud'^ t — dt d" u)cos{u,z)s\aE iu s\n{u,:)s\nE — t sin E^ 



(18) (/ — A) {djd- z — dzd^j-) = — (dud- f — did^ u)cos(u,z)cosE\usin(u,z)sinE+tcosE^ 



dz ds^ = — (dud' t — dtd'- u) l COi {u,z). 



