72 Poselger: , . 



Diese drei Summen quadrirt und summirt geben : 



(19) ds'' = {dudU — dtcruY» {a' + /'}, 



und weil u" -\- (" = ^^, 



m) = — ./'" , . 





Quadriren wir aber die Gleicbungen (10), (11), (12) und summiren die 

 Quadiate, so kommt: 



{dudH—duruY = {dxd-j—djd'ccy+{dxd'z—dzd"-xy+{djd'z—dzdyy 

 und daber: 



(21) .... p = ^'^ 



' 5 V(i.lxd'^y — dyd'^xy^-\-{dxd'^z — dzd^xY-^{dyd'-z — dzd"yy 



6. Eben dieses Resultat erhalten wir auf folgendem Wege. Für die 

 Ebene der Coordinaten /, u gilt die Gleichimg: 



cos(«,a) (a^ — a) + cos(w5j") {y — h) -H cos(m,z) z = o; 



daraus ; 

 und 



cos (a, a) dx + cos {u,y) dy + cos {u, z) dz = o 

 cos (u, x) d"x + cos {u,y) d'j 4- cos {u,z) d^z = o. 



Aus diesen beiden Gleichungen ziehen wir 



C0S(», a) dz d"^ y — dy d^ z 



COs{u,z) dxd'^y — dyd^x ... 



COs{u,x) djd'z — dzd^jf .... 



COS («,/) dx d^ z — dzd^oc ' 



auch : 



, \ , \ / \ (dxd"z — dzd'^x) / r\ / \ dxd^r — dyd^x 



cos{u,a^{x-a)-cos{u,x) \^^.^_^^^.J (j-6)-cos(z/,^) ^^^.^_ ^^^.^ ^ = o, 



folglich: 



(Ji^^'y—oy J'^r^x— o) + (JxJ's— JcfZ\T)(j— Ä)+(Jj J*a7— fZa;^;» . z = o, 



die Differeuzialgleichung der Ebene {t,u). Diese quadrirt giebt: 



{A) {x—ä) " {dzdy—dyd-z) -+{y—b) " (dxd'z—dzd'xy+z ' (dyd'x—dxd'y) ' 

 (x—a) (y— b) (dz dy — dy d' z) (dx d'z — dz d' x) 

 + 2 ■( -\- (x—a) z (dz d'y — dyd' z) (dyd^x — dx d'y) 

 + (y—b)z(dxd"z — dzd'x) (dyd'x — dxd'y) 

 = 0. 



