Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 119 



Von den ebenen Figuren. 



§. 1. Fundamentalsatz. ,, Unter allen Dreiecken über glei- 

 chen Grundlinien und von gleicher Höhe (oder gleichem In- 

 halte) hat das gleichschenklige die kleinste Schenkelsumme; 

 und auch umgekehrt." Oder mit anderen Worten: 



„Jedes ungleichschenklige Dreieck ABC (Fig. 1.) läfst sich 

 in ein anderes (gleichschenkliges) ahc von gleichem Inhalte und 

 gleicher Grundlinie {AB = ab) verwandeln, welches kleinere 

 Schenkelsumme hat und in Bezug auf eine bestimmte Axe X, die 

 durch die Spitze c und die Mitte m der Grundlinie geht, sym- 

 metrisch ist." 



Dieser allgemein bekannte Satz bedarf hier keines Beweises. 



§. 2. ,,Sind die parallelen Seiten oder Giimdlinien AB, DE eines 

 Paralleltrapezes ADEB, so wie die Höhe oder der Inhalt desselben gege- 

 ben, so ist die Summe der übrigen zwei Seiten, AD + BE, dann am klein- 

 sten, wenn sie einander gleich, oder wenn sie gegen jede der parallelen Sei- 

 ten imter gleichen Winkeln geneigt sind." Oder: 



,, Jedes Paralleltrapez ADEB, welches an der einen oder 

 anderen Grundlinie, AB oder DE, nicht zwei gleiche Winkel 

 hat, kann in ein anderes adeb von gleichem Inhalte und glei- 

 chen Grundlinien (AB = ab, DE = de) verwandelt werden, in 

 welchem die zwei übrigen Seiten eine kleinere Summe haben, 

 und welches in Bezug auf eine Axe X, die durch die Mitten (g, h) 

 der parallelen Seiten geht und auf diesen senkrecht steht, sym- 

 metrisch ist." 



Wie leicht zu sehen, folgt dieser Satz unmittelbar aus dem vorhei-ge- 

 henden (§. 1.). Denn ist DE < AB, so sind die Paralleltrapeze ADEB, 

 adeb immer als Theile zweier Dreiecke ACB, ach anzusehen, von welchen 

 sie mittelst der Geraden De abgeschnitten sind; und da sofort, vermöge der 

 Parallehtät der drei Geraden Aa, De und Cc, die Seiten der Parallelti'a- 

 peze, nämlich AD und BE, ad mid bc, von den zugehörigen Seiten der 

 Dreiecke, AC unA BC, ac und 6c, gleichvielte Theile sind, so mufs folg- 

 lich, wenn ac-i- bc < AC + BC, auch ad-i- be < AD + BE sein. — 



Q2 



