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Wenn insbesondere die gegebenen Grundlinien einander gleich, also AB ^ 

 DE, dann ist ADEB ein Parallelogramm und adeh ein Rechteck, und der 

 Satz bleibt offenbar auch für diesen Fall gidtig. 



§. 3. Mittelst der beiden vorstehenden Sätze kann nun jedes beUebige 

 convexe Vieleck T in ein anderes Vieleck V , von gleichem Inhalte verwan- 

 delt wei'den, welches kleineren Umfang hat, und in Bezug auf irgend eine 

 Axe X symmetrisch ist. Dies mag durch folgende Beispiele anschaulich ge- 

 macht werden. 



I. Es sei ein Dreieck ABC (Fig. 2.) gegeben. Aus den Ecken des- 

 selben falle man auf die beliebig angenommene Axe X Perpendikel Aa, Be, 

 Cc, trage das Stück BD des einen Perpendikels Bc, welches innerhalb des 

 Dreiecks liegt, symmetrisch auf die Axe X, so dafs eb = ed und bd = BD: 

 so hat man das symmetrische Viereck ab cd, welches mit dem gegebenen 

 Dreieck gleichen Inhalt, aber kleineren Umfang hat. Denn vermöge der 

 Consti'uction und zufolge (§. 1.), ist Inhalt A BAD = A bad, aber im All- 

 gemeinen ab -i- ad < AB -h AD; ebenso A BCD = A bcd, und cb + cd 

 < CB -4- CD; mithin ist Inhalt ^ABC =■ Inhalt abcd, aber ab + bc + 

 cd + da<AB + BC-\-CA. . .' i ! 



n. Durch eine neue Axe Y, welche zti der vorigen X senkrecht ist, 

 wird das erhaltene Viereck ab cd, auf gleiche Weise in ein anderes Viereck 

 aßy^ verwandelt, welches bei gleichem Inhalte, wiederum kleineren Um- 

 fang hat, als jenes, und welches in Rücksicht beider Axen symmetrisch, 

 mithin gleichseitig oder eine Raute ist und den gegenseitigen Durchschnitt 

 der Axen, ju, zum Mittelpunkte hat. Also wird mittelst zweier nach einander 

 folgender imd zu einander senkrechter Axen X, Y jedes beliebige Dreieck 

 ABC in eine Raute ußy^ von gleichem Inhalte, aber kleinerem Umfange 

 verwandelt. Es kann aber auch mittelst der ersten Axe X allein das Dreieck 

 ABC in eine Raute verwandelt wei'den; denn wenn z.B. der Umfang des- 

 selben durch das Perpendikel Bc gehälftet wird, so dafs BA + AD = BC 

 •+■ CD, so ist abcd eine Raute. y d, t 



m. Es sei ferner das gegebene Vieleck T^etwa ein Sechseck A BCD EF 

 (Fig. 3.), so wird dasselbe, durch ein gleiches Verfahren, mittelst der Axe 

 X in ein symmetrisches Zehneck abf^ce^dcCifb, verwandelt, welches, 

 vei-möge der correspondirenden Dreiecke und Paralleltrapeze, zufolge (§. 1. 

 u. §.2.), gleichen Inhalt, aber kleineren Umfang hat, als jenes. — Es ist 



