Einfache Beweise dej' isoperimetrischen Hauptsätze. 121 



klar, dafs durch eine neue, zu X senkrechte Axe Y das eben erhahene 

 Zehneck, im Allgemeinen, in ein 16 Eck verwandelt wird, welches, bei 

 gleichem Inhalte, abermals kleineren Umfang hat, und welches in Rücksicht 

 beider Axen X, Y symmetrisch ist, also deren Durchschnitt zum Mittel- 

 punkte hat. 



IV. Gleicherweise wird jedes gegebene Vieleck V von irgend einer 

 Anzahl n Seiten, mittelst einer ersten Axe A", in ein symmetrisches Vieleck 

 7^, von gleichem Inhalte, aber kleinerem Umfange verwandelt, welches im 

 Allgemeinen und höchstens 2n — 2 Seiten hat; ferner mittelst einer zwei- 

 ten beliebigen Axe X^ in ein symmetrisches Vieleck J., von höchstens 

 2{2n — 2) — 2 Seiten; und fährt man so fort, so gelangt man mittelst der 

 x"° willkührlichen Axe Ä, zu einem symmetrischen Vieleck V ^ von höch- 

 stens 2' (72 — 2) + 2 Seiten, welches bei gleichem Inhalte kleinei-en Umfang 

 hat, als jedes der vorhergehenden. — Wenn insbesondere die zweite Axe 

 X^ zu der ersten X, senkrecht ist, so hat das Vieleck F, einen Mittelpunkt 

 71/ und zwei zu einander rechtwinklige Symmetralaxen (X, und X,), aber 

 höchstens nur 2(2« — 4) Seiten, und alsdann hat auch jedes folgende Vieleck 

 V^, V^, •••• V^ einen Mittelpunkt ]\l und zwei zu einander senkrechte 

 Symmetralaxen, man mag die späteren Axen X3, X,, ••••X, annehmen, 

 wie man will, was leicht zu sehen ist. 



§. 4. Diese Beispiele zeigen, dafs durch Wiederholung desselben 

 Verfahrens jedes gegebene convexe Vieleck 7' sich in ein anderes Vieleck V^ 

 von gleichem Inhalte, aber kleinerem Umfange, verwandeln läfst, welches 

 so viele Seiten haben kann, als man will. Wird aber die Zahl der Seiten 

 sehr grofs oder imendlich grofs gedacht, so mufs, da der Umfang nicht 

 wächst, sondern schwindet, jede Seite einzeln sehr klein oder unendlich 

 klein werden und mithin der Umfang des Vielecks y\ irgend einer Curve 

 sehr nahe, oder unendlich nahe, kommen. Da in gleichem Sinne jede ge- 

 gebene Cui-ve K als Vieleck von unendlich vielen unendlich kleinen Seiten 

 angesehen werden kann, so folgt, dafs dieselbe, durch das nämliche Ver- 

 fahren, mittelst einer beliebigen Axe X, , sich in eine andere Curve T■^^ von 

 gleichem Inhalte, aber kleinerem Umfange, verwandeln läfst, welche in 

 Rücksicht der Axe X, symmetrisch ist. Ebenso gelangt man mittelst einer 

 zweiten, zu X, senkrechten, Xxe X^, zu einer Curve T'^ von abermals klei- 

 nerem Umfange, aber demselben Inhalte, welche zwei zu einander senk- 



