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rechte Symmetral-Axen X,, X^ und daher einen Mittelpunkt 71/ hat. Durch 



fernere beliebig gewählte Axen X^, X^, entstehen neue Curven V^, 



V^, , welche, bei gleichem Inhalte, nach der Reihe immer kleineren 



Umfang haben, und wovon jede einen Mittelpunkt imd irgend zwei zu ein- 

 ander rechtwinklige Symmetral-Axen hat; auch näheren sich dadurch die 

 Durchmesser der Curve offenbar immermehr der Gleichheit, d.h. der Un- 

 terschied zwischen dem kleinsten und gröfsten Durchmesser (welche allemal 

 die genannten zwei Axen sind) wird immer kleiner, indem dui-ch die Ver- 

 wandlung, wie auch die neue Axe gewählt werden mag (nur nicht einer der 

 voi'igen parallel), der gröfste Durchmesser verkleinert und der kleinste ver- 

 gröfsert wird, wie leicht zu sehen. Durch zweckmäfsige Wahl der neuen 

 Axen können jedoch die Dm-chmesser rascher der Gleichheit näher gebracht 

 werden. (*) 



Demnach kann jede geschlossene convexe Figur T^, mag sie von ge- 

 raden oder krummen, oder geraden und krummen Linien begränzt sein, mit 

 Beibehaltung ihres Inhaltes so lange verwandelt imd dadurch ihr Umfang 

 verkleinert werden, als dieselbe nach irgend einer Richtung keine Symme- 

 tral-Axe hat. Hätte aber die Figur nach jeder beliebigen Richtimg eine 

 Symmetral-Axe, oder würde dieser Zustand nach einigen Verwandlungen 

 herbeigeführt, so bliebe sofort bei allen folgenden Verwandlungen der Um- 

 fang sowohl als der Inhalt constant, oder vielmehr fände keine eigentliche 

 Verwandlung mehr statt, sondern die neue Figur {V ^) würde stets mit der 

 alten (J") congi-uent sein. Eine solche Figur aber, die nach allen Richtun- 

 gen Symmetral-Axen hat, mufs nothwendig einen Mittelpunkt 3/ haben, in 

 welchem sich alle Axen schneiden; denn derselbe wird, nach dem Obigen, 

 schon durch irgend zwei zu einander senkrechte Axen bedingt. Ferner müs- 

 sen alle Axen oder Durchmesser der Figur einander gleich sein. Denn sind 



(') So z.B. bann auf diese Weise eine gegebene Ellipse f mittelst einer einzigen Axe 

 X in einen Kreis /^i verwandelt werden, dessen Durchmesser alle einander gleich, und wel- 

 cher unzählige Paare zu einander rechtwinklige Symmetral-Axen hat. Nämlich sind a, b 

 die halben Axen der Ellipse, so construire man die Gerade r ^ l'^«*, trage dieselbe als Halb- 

 messer in die Ellipse ein, und nehme sofort X zu diesem Halbmesser senkrecht an, so wird 

 die neue Figur ^| ein Kreis sein. Da r nach zwei verschiedenen Richtungen sich als Halb- 

 messer in die Ellipse eintragen läfst, so kann auch die Axe X in zwei verschiedenen Rich- 

 tungen der Forderung genügen. 



