Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 123 



z.B. X,, X„ (Fig. 4.) zwei beliebige Axen derselben und X diejenige dritte, 

 welche mit jenen gleiche \^inkel bildet, a = ß, so mufs dem Endpunkte A 

 der Axe X, in Bezug auf die Axe X ein solcher Punkt C entsprechen, wel- 

 cher sowohl im Umfange der Figur T', als in der Axe X^ liegt, folglich mufs 

 C der Endpunkt der Axe X, sein; daher sind ferner die halben Axen MA, 

 MC und mithin auch die ganzen AB, CD einander gleich. Demzufolge 

 giebt es nur eine einzige solche Figur, welche nach jeder Bichtung eine 

 S^mmetral-Axe hat, imd dieselbe ist der Kreis. 



§. 5. Aus der vorstehenden Beti-achtung schliefst man, unter andern, 

 den folgenden 



Hauptsatz. 



,, Unter allen Figuren von gleichem Inhalte hat der Kreis 

 den kleinsten Umfang"; und umgekehrt: ,, unter allen Figuren von 

 gleichem Umfange hat der Kreis den gröfsten Inhalt." 



Denn man denke sich diejenige Figur T', welche bei ii-gend einem be- 

 stimmten Inhalte den möglichst kleinsten Umfang habe: so mufs dieselbe 

 nach allen Bichtungen symmetrisch sein. Denn wäre sie es nach irgend 

 einer Bichtung nicht, so hefse sie sich, mittelst einer nach dieser Bichtung 

 gezogenen Axe X, in eine andere Figur 7^", verwandeln, welche denselben 

 Inhalt, aber kleineren Umfang hätte; dann aber würde eine dritte Figur ^', 

 welche der zweiten K^ ähnlich und mit der ersten /^ ' gleichen Umfang hätte, 

 offenbar gröfseren Lihalt haben, als die zweite, also V^ > V ^ und mithin 

 auch 7' > 1\ was der Annahme widerspräche; daher mufs V nach allen 

 Bichtungen symmetrisch, und folghch der Ki-eis sein. 



Der umgekehrte Satz folgt, nach bekannter Art, indirect aus dem 

 ersten. 



§. 6. Aus dem vorstehenden Hauptsatze lassen sich, wie schon Ein- 

 gangs erwähnt worden, eine sehr grofse Beihe von Aufgaben mid Sätzen 

 über Maximum und Minimum, welche bei ebenen Figuren unter mannich- 

 faltigen Bedingungen statt finden, meist fast unmittelbar beantworten und 

 als blofse Zusätze herleiten, was ich bei einer anderen Gelegenheit ausführ- 

 lich nachweisen werde. Übrigens kann der Hauptsatz, unter andern, noch 

 auf zwei Arten einfach bewiesen werden, wovon die eine Art, aufser ihrer 

 Strenge, sich dadurch auszeichnet, dafs sie auf analoge Weise auch für die 

 sphärischen Figuren statt findet. 



