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§. 7. In Bezvig auf die obige Betrachtung (§. 4.) mag hier noch fol- 

 gende Frage erörtert werden, nämlich: 



,, Welche Form kann eine Figur T möglicherweise haben, 

 wenn sie zwei Symmetral-Axen X, Y hat, die sich unter einem 

 beliebigen gegebenen Winkel a schneiden, und von denen jede 

 dem Umfange der Figur in nur zwei Punkten begegnet?" 



Man bezeichne den gegenseitigen Durchschnittspunkt der Axen X und 

 Y durch Jl/; ihre Endpunkte, welche sie mit dem Umfange der Figur T^ ge- 

 mein haben, nach der einen Seite durch A und B, nach der andern durch 

 a und b. Zieht man durch M eine dritte Gerade X, so, dafs 1' mit X und 

 X^ gleiche Winkel = a bildet, also die letzteren in Bezug auf die erstere 

 symmetrisch liegen: so ist offenbar auch X ^ eine Sjmmetral-Axe der Figur 

 7', und es müssen nothwendig die sich entsprechenden Theile der Axen X 

 und X^ einander gleich sein, nämlich M A = JMA,, Ma = -1/a,, wo A, 

 und a, die Endpunkte der Axe X , bezeichnen. Gleicherweise wird eine 

 nach A', folgende Gerade Y^ , die durch M geht und mit X, einen Winkel 

 = « bQdet, so dafs 1^ und 1 , in Bezug auf X, symmetrisch liegen, eine 

 Symmetral - Axe der Figur T"^ sein, und ebenso müssen die entsprechenden 

 Theile der Axen Y und Y, einander gleich, d.i. 3IB = ]\IB, und Mb = 



JliÄ,, sein. Ebenso folgen weiter die Symmetral -Axen X.,, Y^, X^, I', •« 



von denen je zwei aufeinander folgende einen Winkel = a einschliefsen, und 

 wobei die entsprechenden Theile der abwechselnd aufeinander folgenden 

 oder gleichnamigen Axen einander gleich sind, so dafs man hat 



MA = MA, = MA, = , und Ma = Ma, = Ma, = , 



für die Axen X, X,, X^, ; 



MB = MB, = MB^ = , und Mb = Mb, = Mb, = , 



für die Axen Y, Y,, Y,, 



Demnach hat die Figur, aufser den beiden gegebenen X und Y, im 



Allgemeinen noch mehr Symmetral- Axen X,, Y,, X,, Y,, , imd zwar, 



wie man bemerken wird, entweder 1) eine bestimmte endliche Anzahl, oder 

 2) unendlich viele, je nachdem nämlich bcziehlich «; tt commensurabel 

 oder incommensurabel ist. Diese zwei Fälle unterscheiden sich, wie folgt. 



I. Wenn a '. t commensurabel, etwa = 1:7??, wo m irgend eine ganze 

 Zahl ist (wäre « ; tt = zz : m und 71 ebenfalls eine ganze Zahl > 1 , so würden, 

 in Bezug auf alle Axen, X und 1' nicht unmittelbar aufeinander folgen, son- 



