Einfache Beweise der isoperimetrischen Hairptsätze. 125 



dem es lägen n — i andere Axen zwischen ihnen), so hat die Figur T^ im 

 Ganzen m Svmmetral-Axen, die sich in demselben Punkte 3/ schneiden und 

 deren Abschnitte, nach der Reihe imi den Punkt 71/ herum genommen, ab- 

 wechselnd einander gleich sind. Der Umfang der Figur besteht aus zm glei- 

 chen Theilen, nämlich zwischen den nach gleicher Seite hin liegenden End- 

 punkten je zweier immittelbar aufeinanderfolgender Axen, Avie z.B. zwischen 

 A mid B, oder B und A^, liegt ein solcher Umfangstheil ; diese Theile 

 bleiben imbestimmt, d. h. einer derselben kann willkiulich angenommen 

 werden, kann eine beliebige Linie oder Curve sein, und dann sind alle an- 

 deren durch ihn bestimmt. — Im Ubi-igen sind dabei noch zwei Fälle zu 

 miterscheiden, nämlich ob m gerade oder ungerade ist. 



1) Wenn m gerade, so ist M Mittelpunkt der Figur V, und die 

 mAxen sind abwechselnd einander gleich, so dafs also sowohl ]\IA =. ]\la 

 und MB = Mb, als 



Aa = A^ «, = A,a.-, = und Bb = B,b, = B^b^ = 



2) Ist m ungerade, so sind alle Axen einander gleich, also Aa = Bb 

 = A,a, z=BJj^ = , ihre Theile aber, in welche sie durch den ge- 

 meinschaftlichen Durchschnittspimkt M getheilt werden, sind nach ihrer 

 Aufeinanderfolge abwechselnd einander gleich, nämlich 



MA = MA, = MA, = = Mb = 3Ib, = Mb, = , 



und 



MB = MB, = 3IB, = = Ma = Ma, = Ma, = 



n. Wenn u : ~ incomraensurabel, so hat die Figur F unendlich viele 

 S^Tumeti-al-Axen, so dafs nothwendig nach jeder beliebigen Richtung eine 

 solche statt findet, woraus man schliefst, dafs in diesem Falle die Figur nur 

 der Kreis sein kann. 



Ist irgend ein Punkt P im Umfange der Figur T' gegeben, so kann 

 man mittelst der beiden gegebenen Axen X und I^ eine Reihe von Punkten 

 P,, P^, P^, , ]),, p.2-, p,, construiren, welche sämmtlich im Um- 

 fange der Figur T' liegen, und deren Anzahl, nach Maafsgabe der obigen 

 Fälle, begrenzt oder unbegrenzt ist. Nämlich erstens entspricht dem 

 Punkte P in Rücksicht der Axe X ein (symmetrischer) Punkt P^ , diesem in 

 Rücksicht der Axe Y ein Punkt P^, diesem wieder in Rücksicht der Axe X 

 ein Punkt P,, u.s.w.; oder zweitens entspricht dem Punkte P vermöge der 

 Axe Y ein Punkt p, , diesem vermöge der Axe X ein Punkt p^, diesem wie- 

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