Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 127 



und 71, zu welchen sie gleichfalls senkrecht ist, in c luid d; so wird die Py- 

 ramide ab cd alle gegebenen Elemente enthalten und nach der Behauptung 

 des Satzes die Eigenschaft haben, dafs die Summe der zwei Seitenflächen 

 acd + bcd ein Minimum ist. Aus der Construction folgt — da nämlich 

 die Dreiecke acd, bcd einander gleich und ihre Ebenen mit der Ebene X 

 gleiche Winkel bilden — dafs die in den Punkten a, b auf die Flächen acd, 

 bcd errichteten Perpendikel ax, bcc einander in einem Punkte x treffen 

 müssen, der in der Ebene A liegt, und dafs ax =:bx ^ r ist. Betrachtet 

 man die vier Pyi-amiden, welche den Punkt x zur gemeinschaftlichen Spitze 

 und die vier Seitenflächen der Pji-amide ab cd beziehlich zu Grundflächen 

 haben, so kann die letztere, wie mau sieht, durch jene wie folgt ausge- 

 drückt werden 



abcd = xacd -\- xbcd — xabc — xabd. 



Hält man die Kante ab fest, läfst dagegen die Ecken c, d in den zu- 

 gehörigen festen Geraden Q, li beliebig rücken, bezeichnet sie in der neuen 

 Lage durch c,, J,, so hat die neue Pyramide abc^d, alle gegebenen Ele- 

 mente, und es mufs gezeigt werden, dafs die Flächensumme 



ac^d^ -i-bc,d,:> acd-{- bcd. 



Da gleicherweise, wie vorhin, 



abc,d^ = xaCjd , + xbc^ d, — xabc, — xabd,, 



und da von diesen fünf Pyramiden die erste, vierte und fünfte beziehlich 

 den vorigen an Inhalt gleich sind, so mufs auch 



xac,d, + xbc,d, ^ xacd + xbcd 

 sein. Diese zwei Paar Pyramiden haben die obigen zwei Paar Flächen, de- 

 ren Summen verglichen werden sollen, zu Grundflächen. Die Pyramideu 

 xacd, xbcd haben gleiche Höhe, nämlich xa = xb = r, und offenbar ist 

 dieselbe gröfser als die Höhe jeder der beiden Pyramiden xac, d,, xbc, d,, 

 weil deren Grimdflächen ac,d,, bc,d, nicht auch zu den festen Strahlen 

 xa, xb senkrecht sein können; daher mufs uothwendig die Summe der 

 Grundflächen bei den letztern zwei Pyramiden gröfser sein, als bei den zwei 

 erstem. Oder um diesen Schlufs anschaulicher zu machen, bezeichne man 

 die Höhen der Pyiamiden xac, J, , xbc, d, , da dieselben kleiner als r sind, 

 durch r — u, r — v, so hat man, nach der letzten Gleichung : 



(r — u) ac,d, +(r — v)bc,d, = r > acd + r » bcd, 



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