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Körper solcher Art, die den Gegenstand der obigen drei Sätze ansmachen; 

 und zwar vertreten die Perpendikel hier die Stelle der dortigen festen Ge- 

 raden P, Q, li, S, T, ••••; die veränderlichen Seitenflächen der gegenwär- 

 tigen Körper sind Theile der Oberfläche des gegebenen Polyeders K, so dafs 

 die Summe aller jener Seitenflächen, gerade aus dieser Oberfläche besteht, 

 oder ihr gleich ist. Werden nun alle diese Körpertheile — jeder zwischen den 

 zugehörigen drei Perpendikeln, als feste Gerade angesehen — in solche um- 

 gewandelt, welche die angenommene feste Ebene X zur Symmetral- Ebene 

 haben, so bilden sie zusammen ein neues Polyeder K,, welches mit dem 

 gegebenen K gleichen Inhalt, aber offenbar kleinere Oberfläche hat, als 

 dieses, indem nämlich seine Oberfläche die Summe jener veränderlichen 

 Seitenflächen gerade für den besonderen Fall repräsentirt , wo von den 

 letzteren, zufolge der obigen Sätze, die Summe je zweier zusammengehöri- 

 ger ihr Minimum erreicht. Das neue Polyeder K^ hat demnach eine Sym- 

 metral- Ebene X und nothwendigerweise im Allgemeinen mehr Ecken und 

 Seitenflächen, als das gegebene Polyeder K. Die Vermehiimg der Ecken 

 und Seitenflächen hängt nämlich, wie man bemerken wird, von denjenigen 

 Perpendikeln ab, welche durch das Innere des Polyeders /iT gehen, die also 

 aufser einer Ecke, auch noch irgend eine Seitenfläche desselben treffen; 

 durch jedes solche Perpendikel nimmt die Zahl der Ecken um eine Einheit 

 zu, und zwar auch in dem Falle, wo das Perpendikel eine Kante trifft, oder 

 in einer Seitenfläche liegt; geht aber das Perpendikel insbesondere durch 

 zwei Ecken, oder geht es nicht durch das Innere des Polyeders K, sondern 

 nur durch eine Ecke desselben, so bewirkt es keine Vermehrung der Ecken. 

 Die Zahl der Seitenflächen vermehrt sich rascher, nämlich durch jedes Per- 

 pendikel, welches eine Seitenfläche des Polyeders Antrifft, kann sie um zwei 

 oder mehr Einheiten zunehmen. 



Auf gleiche Weise kann nun ferner das Polyeder K, mittelst einer 

 neuen beliebigen Ebene Y in ein anderes Polyeder K^ verwandelt werden, 

 welches bei gleichem Inhalte abermals kleinere Oberfläche, dagegen mehr 

 Ecken und mehr Seitenflächen hat, und welches in Bezug auf die Ebene Y 

 symmetrisch ist. Ebenso läfst sich dieses neue Polyeder K^ wiederum ver- 

 wandeln, wobei der Inhalt constant bleibt, dagegen die Oberfläche sich 

 verkleinert, die Zahl der Ecken und Seitenflächen aber sich vermehrt, und 



