Eiujachc Beweise der isoperimetj-ischen Hauptsätze. 131 



wo das neu entstandene Polyeder /t, gleichfalls eine Sjmmetral - Ebene 

 hat; U.S.W. 



\^ ird insbesondere die zweite Ilülfsebcne Y zu der ersten X senk- 

 recht angenommen, und wird die Durchschnittslinie beider Ebenen durch z 

 bezeichnet, so ist das (dritte) Polyeder K.^ in Bezug auf beide Ebenen X, Y 

 zugleich symmetrisch, so dafs z eine Syrametral - Axe desselben ist, d.h., 

 dafs jede zu z senkrechte Gerade ab, welche der Oberfläche des Polyeders 

 in irgend einem Punkte a begegnet, dieselbe noch in einem andern Punkte 

 b ti'ifft und die Strecke ab durch die Axe z gehälftet wird. Durch eine 

 dritte Ebene Z, welche zu den beiden vorigen, oder zu der Axe z, senk- 

 recht ist, erhält man ein neues Polyeder /if,, welches in Bezug auf jede der 

 drei Ebenen X, Y, Z symmetrisch ist, deren Durchschnittsbuien z, y, x zu 

 Symmetral-Axen, so wie deren gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt IM 

 zimi Mittelpunkt hat. Wird nun das Polyeder Ä^,, mittelst beliebiger Ebe- 

 nen, weiter verwandelt, so hat es sofort stets einen Mittelpunkt 71/, so wie 

 irgend drei zu einander senkrechte Symmetral- Ebenen, die sich in demsel- 

 ben schneiden, imd drei Symmetral-Axen, welche die Durchschnittslinien 

 dieser Ebenen sind. 



Da durch wiederholtes Verwandeln das Polyeder so viele Seitenflä- 

 chen und Ecken erhalten kann, als man will, die Oberfläche aber stets 

 schwindet: so müssen nothwendig die einzelnen Seitenflächen zidetzt sehr 

 klein werden, so dafs die Oberfläche sich irgend einer krummen Fläche nä- 

 hert, und endlich einer solchen sehr nahe, oder wie man sagt, unendlich 

 nahe kommt. Wird in gleichem Sinne eine beliebige convexe krumme Ober- 

 fläche als aus unendhch kleinen ebenen Theilchen bestehend angesehen, so 

 läfst sich der Körper, der von derselben umschlossen wird, offenbar auf die 

 nämliche Weise in einen andern symmetrischen Körper von kleinerer Ober- 

 fläche verwandeln. 



IMag demnach die Oberfläche eines gegebenen convexen Körpers K 

 beschaffen sein, wie man will, aus ebenen Flächen, oder aus einer einzigen 

 ki'ummen, oder aus ebenen und krummen Flächen bestehen: so läfst sich 

 dersellje, nach obiger Art, so lange verwandeln imd dadurch, unter Beibe- 

 haltung des Inhaltes, seine Oberfläche verkleineren, als er nicht nach allen 

 Richtungen Symmetral -Ebenen hat. Wenn aber der Körper nach einigen 

 Verwandlungen diesen Zustand erreicht, wo er nach jeder beliebigen Rieh- 



