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tung eine S^inmetral - Ebene hat ('), oder wenn er sich schon Anfangs in 

 diesem Zustande befindet, so höi't die Vervyandkmg auf, nämlich so bleibt 

 die Oberfläche sowohl, als der Inhalt, mithin der Körper selbst constant. 

 Ein solcher Köiper aber, welcher nach allen Richtungen Symmetral - Ebe- 

 nen (und somit auch Symmetral -Axen) hat, besitzt nothwendigerweise einen 

 ]\Iittelpmikt imd es müssen alle seine Durchmesser einander gleich sein, wor- 

 aus folgt, dafs es nur einen einzigen solchen Körper geben kann, und dafs 

 dieser die Kugel ist. 



§. 12. Aus der vorstehenden Betrachtung schliefst man zunächst 

 folgenden 



Hauptsatz. 



,, Unter allen Körpern von gleichem Inhalte hat die Ku- 

 gel die kleinste Oberfläche;" und umgekehrt: ,, unter allen Kör- 



(') Z.B. ein beliebiges Elllpsoid K kann durch zwei nach einander folgende Verwand- 

 lungen in den bezeichneten Zustand gebracht, nämlich in eine Kugel Ä'j verwandelt werden. 

 Es seien o, 6, c die halben Axen des Ellipsoids nach der Ordnung ihrer Gröfse, wo a die 



gröfste. Man denke oder verschaffe sich die Gerade r = Vabc, trage dieselbe als Halb- 

 messer in das Ellipsoid K ein, was nach unendlich vielen verschiedenen Richtungen gesche- 

 hen kann, nehme sofort die Hülfsebene X zu diesem Halbmesser r senkrecht an und ver- 

 wandle K: so ist der neue Körper AT, gleichfalls ein Ellipsoid, wovon man sich leicht über- 

 zeugen wird, und zwar fallt offenbar eine Axe desselben auf den Halbmesser r, und ihre 

 Hälfte ist diesem gleich. Sind a,, i,, c, die halben Axen des Ellipsoids Ä",, so ist, vermöge 

 des Constanten Inhaltes, abc = a,bfCf = r^\ daher kann r nur der halben mittleren Axe 

 b, gleich sein, also r = 6, = Va^c^. Nun denke man sich denjenigen Hauptschnitt des 

 Ellipsoids A', , welcher durch die gröfste und kleinste Axe desselben geht, der also eine Ellipse 

 ist, welche mit Ä', die halben Axen o,, c, gemein hat; in diese Ellipse trage man vv'iederum 

 die Gerade r als Halbmesser ein, nehme die Hülfsebene darauf senkrecht an, und verwandle 

 mittelst derselben A'j : so wird der neue Körper AT^ eine Kugel sein, die der obigen Forde- 

 rung genügt. — Die Richtigkeit dieser Angaben ist leicht zu bestätigen. 



Wenn demnach ein gegebenes Ellipsoid Ä", insbesondere so beschaffen, dafs das 

 Quadrat der mittleren Axe gleich dem Rechteck der beiden übrigen Axen, oder äj = a, c,: 

 so kann dasselbe mittelst einer einzigen, gehörig gewählten Ebene Y in eine Kugel ver- 

 wandelt werden. 



Um den Spielraum der verschiedenen Richtungen, nach welchen die Gerade r sich 

 als Halbmesser in das beliebige Ellipsoid A' eintragen läfst, anzuschauen, denke man sich die 

 mit dem letzteren concentrische Kugelfläche, welche r zum Radius hat; die beiden Ober- 

 flächen werden einander in einer Curve von doppelter Krümmung schneiden, durch welche 

 zugleich eine mit jenen concentrische Kegelfläche zweiten Grades geht — und diese ist, 

 wie man sieht, der Ort des Halbmessers r. 



