Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 1 33 



pern von gleicher Oberfläche hat die Kugel den kleinsten 

 Inhalt." 



Der Beweis dieses Satzes ist deutlich in dem vorhergehenden enthal- 

 ten, bedarf also keiner Wiederholung, die indessen auf analoge Weise ge- 

 schehen könnte, wie bei dem obigen Hauptsatze (§. ö.). 



§. 13. Ahnlicherweise, Avie so eben auf Körper im Allgemeinen 

 (§. 12.), kann auch auf solche Körper insbesondere geschlossen werden, 

 welche zwischen bestimmten gegebenen Grenzen sich befinden, oder sonsti- 

 gen Bedingungen imterworfen sind, wie z.B. auf prismatische oder pyrami- 

 dalische Körper von gleicher Höhe und gleichem Inhalte oder gleicher 

 Summe der Seitenflächen. Für diese genannten Körper tritt in Hinsicht 

 der obigen Verwandlung (§.11.) die Beschränkung ein, dafs die Hülfsebe- 



nen X, Y, sämmtlich zu der Grimdfläche des Körpers senkrecht sein 



müssen; aufserdem aber können sie beliebige Richtmig haben. Bei den 

 prismatischen Körpern kann jedoch eine einzige besondere Hülfsebene mit 

 den beiden Grundflächen parallel sein, und zwar ist es diejenige, die von 

 den beiden letzteren gleich weit entfernt. Für die beiden Arten von Kör- 

 pern ergeben sich aus der obigen Betrachtung, wie man leicht bemerken 

 wird, folgende zwei Sätze : 



I. ,, Unter allen prismatischen Körpern von gleicher Höhe 

 und gleichem Inhalte liat der gerade Cylinder die kleinste Sei- 

 tenfläche." Und umgekehrt: ,, Unter allen prismatischen Körpern 

 von gleicher Höhe und gleicher Seitenfläche hat der gerade Cy- 

 linder den gröfsten Inhalt." 



IL ,,Der gerade Kegel besitzt die doppelte Eigenschaft, 

 dafs er unter allen pyramidalischen Körpern von gleicher Höhe, 

 bei gleichem Inhalte die kleinste Seitenfläche, und bei gleicher 

 Seitenfläche den gröfsten Inhalt hat." 



§. li. In Pvücksicht auf die obige Beti-achtung (§. 11.) ist hier ähn- 

 licherweise, wie (§.7.), die folgende Frage zu stellen: 



,,W^elche Gestalt kann ein Körper Ä'möglicherweise haben, 

 wenn er zwei oder drei beliebige gegebene Sjmmetral - Ebenen 

 hat, und wenn die Durchschnitts - Figur jeder dieser Ebenen mit 

 der Oberfläche des Körpers von jeder beliebigen Geraden in 

 nicht mehr als zwei Punkten getroffen wird?" 



Mathemat. Ahhandl. 1836. S 



