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I. Hat der Körper Ä"zwei Symmetral- Ebenen X, Y, die einen ge- 

 gebenen Winkel a einschliefsen, und ist Erstens « : tt commensurabel, 

 etwa = 1 : m, so finden im Ganzen m Svmmetral- Ebenen statt, die sich in 

 einer und derselben Geraden z schneiden; die Durchschnitts - Figuren in 

 diesen 7?i Ebenen, so wie die Theile, in welche dieselben durch die Gerade 

 z getheilt werden, sind auf entsprechende Weise einander gleich, wie bei 

 der obigen Figur F (§. 7, I.) die mAxen und deren Abschnitte. Die Ober- 

 fläche des Körpers besteht aus 2m gleichen Theilen, wovon jeder dui'ch 

 zwei unmittelbar auf einander folgende Symmetral -Ebenen begrenzt wird; 

 sie sind abwechselnd einander gleich, so dafs sie in zwei Abtheilungen zer- 

 fallen, deren jede m Theile imifafst, welche unter sich gleich sind; aufser- 

 dem sind die zur einen Abtheilung gehörigen Theile denen der anderen sym- 

 metrisch gleich. Im Übrigen bleiben diese Theile unbestimmt, sie können 

 beliebige Flächen zwischen den angegebenen Grenzen sein. — Ist Zwei- 

 tens a : TT incommensurabel, so hat der Körper /iTunendlich viele Sym- 

 metral -Ebenen, die sich in einer einzigen Geraden ;; schneiden; alle Durch- 

 schnitts -Figuren dieser Ebenen mit der Oberfläche des Körpers sind einan- 

 der gleich luid jede wird durch die Gerade z in zwei gleiche Theile getheilt, 

 so dafs also die Oberfläche offenbar durch Umdrehung irgend einer Curve 

 um die Axe z erzeugt wird ; diese Curve aber bleibt, bis auf die vorausge- 

 setzte Eigenschaft, dafs sie von irgend einer Geraden in nur zwei Punkten 

 geschnitten werden kann, im])estimmt. 



II. Hat ferner der Körper K irgend drei Symmetral -Ebenen X, Y 

 und Z, welche einander paarweise X und I', X und Z, Y und Z in drei 

 Geraden z, y, x und unter gegebenen Winkeln «, ß, y schneiden, und wel- 

 che zusammen nur einen Funkt 71/ gemein haben : so mufs, sobald von den 

 drei Winkeln irgend zwei, etwa a imd ß, mit tv incommensurabel sind, der 

 Körper in Rücksicht zweier Axen z xmd >• durch Umdrehung erzeugt (1,2.), 

 imd daher nothwendig eine Kugel sein. Wenn aber nur einer der drei Win- 

 kel mit TT incommensurabel ist, oder gar keiner, also alle drei mit t com- 

 mensurabel, so werden doch, selbst in dem letzteren Falle, unter den drei 

 Systemen von Symmetral-Ebenen, die beziehlich durch die Geraden z, 7, x 

 gehen, und welche durch die gegebenen Ebenen, die paarweise genommen 

 mit dazu gehören, nach dem Vorigen (I, 1.) bestimmt werden, im Allge- 

 meinen irgend zwei Paare sich belinden (wo nämlich die zwei Ebenen jedes 



