an der Grenze zweier vollkommen durchsichtigen Medien. 107 
cos2n = cosu cosu+ sin u sinu’ cos2j = cos (u— u‘) — 2sin u sin u’ sin ?j 
SE: . A. TER (e) 
cos2n = cosv cosv’—+ sınv sınv’ cos2k= cos(u-+V)) —+- 2sınv sın v’cos"k, 
also: 
cos (u— u) — cos(u+-vV’) = 2 (sin u sin w’ sin %y + sinv sinv’ cos ”k), 
woraus nach (ce) 
sinasina’ 
sin A 
(cos (u—w') — cos(u+v))) = 2 (cos(x’—k) cos (x +k)sin?j-+ sin (x’—j) sin(&’+j) cos? x). 
Dividirt man (d) durch diese Gleichung, so erhält man: 
sin x” sin) sin (u—w) + sinz’ cos k sin (v-+v’) 
cos (u— wu) — cos (v+vV’) 
sinA = cosx’ cosa” — sinx’ sina” cosA, (f ) 
welches eben die zu beweisende Relation (14) ist. 
Es lassen sich aus (a) auf ähnliche Weise noch einige Relationen ab- 
leiten, die uns später von Nutzen sein werden. Multiplieirt man die beiden 
ersten Gleichungen (a) mit cos x” und die beiden letzten mit sin &’, so erhält 
man: 
sin cosu cosx&” = + sin k sin (x’+j) — cos (x”—k) (sin(x’+-j) sin x” — cos (x’+-j) cos x” cos A) 
sin «' cosu'cosx” = — sin k sin (x —j) — c0s (x +k) (sin(x’—j) sin x” — cos (x’+-j) cos” cosA) 
—sin«cosv sina’ = sin) cos(x”—k) — sin (x’+ 7) (cos(x”—k) cosx’— sin (x”’— k) sin.x’ cos A) 
— sin«’cosv’ sin’ = — sin) cos (x”+k) — sin (x —j) (cos(x”+k) cos x’— sin (x”+k) sin’ cos A) 
und hieraus: 
sinasin« . x Er OEIEDEDE nz: De ” 
na sn (u—u) cos” = sin k (sin («’—j) cos(«’—k) + sin («’+j) cos (x’+-k)) 
— 2 sinj cos (x + k) cos (x — k) (cosx’ sin x” + sinx’ cos x” cosA) 
A sin („—v))sin®’ = sinj (cos (x”— k) sin («—j) + cos (x”’+k) sin («+7)) 
"sinA 
— 2 sin k sin (x’+j) sin («—j) (cos x sina”’+ cos” sin x’ cosA) 
also: 
INeWLYF 
(sin (u— 1’) cos” sin; — sin (y— v’) sin’ sin k) (8) 
= — 2 (sin?jcos (x’+k) cos (x —%k) — sin? k sin (x’+J) sin(x’—j)) (cos x’ sin x’ + cos x” sin a’cos A). 
Man hat ferner aus (e) 
cos (u— u) — cos(v—vV) = 2(sinu sin u’ sin °j — sinv sinv’ cos”k) 
und wegen (e) 
an (cos (u—u’)— cos(u—v’)) = 2 (cos (x”—) cos (x’+k) sin”j— sin (2’—j) sin(&’+j) cos?k). 
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