150 Neumann: über die Reflexion und Brechung des Lichtes 
rigen ungewöhnlichen Wellen-Ebene. Ebenso findet man, dafs p”, &,, &/ 
drei Wurzeln einer andern biquadratischen Gleichung sind, deren vierte, 
welche ich mit W, bezeichne, der Brechungs-Winkel der zu ı" gehörigen 
gewöhnlichen Wellen-Ebene ist. Wenn =", so itY'=Y,, V’=W 
und &£/ =& und &’=ö,/, und V,WV\, &=&,&=8&) sind die vier Wur- 
zeln derselben biquadratischen Gleichung. 
Es sind nur gewisse, leicht vorher zu sehende particuläre Fälle, wo 
diese biquadratischen Gleichungen sich in zwei quadratische zerfällen lassen. 
Im Allgemeinen kann man also zu ihrer Auflösung nur Näherungs-Methoden 
anwenden, und dazu dienen die Relationen (5) bis (10). Wenn der einfal- 
lende Strahl D’, d. h. ein gewöhnlicher ist, so ist W’ gegeben und man be- 
stimmt aus (4) a. mittelst (5) den Winkel ı’. Diesen Werth in (4) b. und c. 
gesetzt, erhält man für £/ und &” eine erste Annäherung, in welcher die Qua- 
drate von r’—w” vernachlässigt sind, wenn man in die Werthe für w, w’ und 
u, v/ in (7) und (8) statt &/ und &/ setzt W. Setzt man hierauf in (7) und (8) 
die oben gefundenen angenäherten Werthe für £/ und £”, so erhält man z,, 
u/ und v,, v/ richtig bis auf die erste Potenz von r—u?, und aus ihnen die 
Ausdrücke cos(u,—u/), cos(v,+v/) gebildet und in (4) b. c. gesetzt, erhält 
man £/ und &/ richtig bis auf die zweite Potenz von r»’—u?. Dieser Grad 
der Annäherung wird in allen Fällen zureichend sein. Ein ganz gleicher Weg 
führt zu den angenäherten Werthen für &) und &/, wenn der einfallende 
Strahl ein ungewöhnlicher ist, mittelst der Gleichungen (4) «. @. y. und 
(5) (6) (9) (10). 
Ich werde jetzt die Gleichungen bilden, welche sich aus dem Prinzip 
der Gleichheit der Componenten ergeben. Ich zerlege wiederum die Ge- 
schwindigkeiten D', D’, R/, R/, R,, R, nach folgenden drei Richtungen: 
1) senkrecht auf der Einfalls-Ebene, 2) senkrecht auf der brechenden 
Ebene, 3) parallel mit der Einfalls-Ebene und mit der brechenden Ebene. 
Ich werde die Cosinusse der Winkel, welche die Richtungen der Geschwin- 
digkeiten D’, D’, R/... mit diesen drei untereinander rechtwinkligen Rich- 
tungen bilden, in folgender Tafel zusammenstellen: 
