algebraische Gleichungen näherungsweise aufzulösen. 265 
Stellt man sich nun die Curve vor, deren Abeissen v=p-+x und deren 
Ördinaten f(p-+x) sind, so ist, in so fern p dem v nahe kommt, oder x sehr 
klein ist, der erste Näherungs-Werth von x (der Newton’sche), von welchem 
auch Fourier ausgeht, gleich der Subtangente für die Ordinate fp; also 
=— nn =— nn 7.). Diesen Näherungs-Werth erhält man auch aus der 
Gleichung (4.), wenn man darin alle Potenzen von @, bis auf die erste, 
als Null betrachtet; denn alsdann giebt die Gleichung (4.) a,+a, x = 0; wor- 
aus ebenfalls = — —= folgt. Es ist also einstweilen wahrscheinlich, 
dafs der Näherungs-Werth, den man hier erhält, wenn nicht alle Potenzen 
von x, bis auf die erste, sondern nur erst höhere Potenzen vernachlässigt 
werden, im allgemeinen dem genauen Werthe von x näher kommen werde, 
als der Newton’sche, so dafs also die Verbindung der gegebenen Gleichung 
mit der zugezogenen Hülfsgleichung möglicherweise wirklich eine Verstär- 
kung der Approximation zur Folge haben kann. 
2. 
Die Elimination der verschiedenen Potenzen von v, bis auf die erste, 
zwischen den beiden Gleichungen (1.) und (2.), oder von x zwischen den 
beiden Gleichungen (4.) und (5.), kann nun auf verschiedene Weise geschehen. 
Die erste Art, welche sich zunächst darbietet, und deren sich auch der 
Verfasser des oben genannten Aufsatzes in seinem Beispiele, so wie Euler 
bei der angezeigten Gelegenheit bedient, ist: dafs man, je nachdem n > m 
oder m>n ist, die eine oder die andere Gleichung durch Multiplication mit 
v””” oder v””” zu dem Grade der anderen erhebt, darauf die höchste Potenz 
von v zwischen den beiden Gleichungen wegschafft, also so eine erste 
Gleichung darstellt, dieum einen Grad niedriger ist; hierauf diese Gleichung 
wieder durch Multiplieation mit v zu dem ursprünglichen Grade erhebt, 
zwischen dem Resultate und einer der ursprünglichen Gleichungen wiederum 
die höchste Potenz eliminirt, also eine zweite Gleichung darstellt, die um 
ı Grad niedriger ist; darauf zwischen den beiden um ı Grad niedrigeren 
Gleichungen die höchste Potenz von v wegschafft, und so eine Gleichung 
darstellt, die um 2 Grade niedriger ist als diejenige unter den ursprünglichen 
Gleichungen, die den höheren Grad hat; sodann mit dieser Gleichung auf 
ähnliche Weise, und so weiter verfährt, bis man zu einer Gleichung gelangt 
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