algebraische Gleichungen näherungsweise aufzulösen. 269 
den ersten Rest durch den zweiten, und fahre so fort, wie, wenn man den 
Bruch %- oder — in einen Kettenbruch verwandeln wollte: so wird man 
zuletzt nothwendig auf einen Rest kommen, der x nur noch in der ersten 
Potenz enthält. Diesen Rest setze man gleich Null: so wird auf diese Weise 
die nämliche Gleichung ersten Grades hervorgehen, zu welcher das obige 
Eliminations-Verfahren führt, und man kann also den Werth von x, welchen 
jenes Verfahren giebt, daraus nehmen. 
Dafs sich dies so verhält, folgt aus dem in $. 20. meiner Abhandlung 
über die Zerlegung der algebraischen polynomialen Brüche (Journal der 
Math., Bd. 10. S. 55. seq.) von denselben bewiesenen Satze. Zufolge des- 
selben kommt nämlich den Kettenbrüchen von Polynomen eine ähnliche 
Eigenschaft zu, wie denen von Zahlen. Wenn man nämlich den Bruch 
zweier Polynome, hier z. B. 2” _ in einen Kettenbruch verwandelt, bei dem 
Rest R stehen bleibt, darauf diesen Rest = o setzt, und denjenigen Bruch, 
in welchem R=o gesetzt worden, etwa durch z bezeichnet: so ist der 
Zähler des Bruchs, der dem Unterschiede der beiden Brüche _ und T 
gleich kommt, A, der Nenner desselben yU, das heifst, es ist 
14. pn re) 
Y U Y DE! 
woraus 
15. «"U—-yV/=R 
folgt. Giebt man also x denjenigen Werth, der der Gleichung AR = 0 Genüge 
thut, so wird es der nämliche sein, welcher der Gleichung 
16. «"U—yV = 0 
entspricht, das heifst: der Werth von x, auf welchen das Divisions-Verfahren 
des gegenwärtigen Paragraphs auf die Weise führt, dafs man bis zum Reste 
R von der ersten Ordnung geht, wird sich auch finden lassen, wenn man 
a” und y mit zwei Polynomen U und 7 multiplieirt, die Coefficienten der- 
selben so bestimmt, dafs sie in allen Gliedern, etwa bis auf die beiden letzten, 
jedem beliebigen Werthe von x entsprechen, und darauf aus der Gleichung 
ersten Grades, die die beiden letzten Glieder zusammen bilden, & nimmt: 
ganz wie es bei dem Verfahren des vorigen Paragraphs geschieht. Es zeigt 
sich nämlich, dafs man, wenn man den Rest A ersten Grades, den die Ketten- 
Division giebt, ohne dieselbe finden wollte, die Polynome y und &” mit den 
Polynomen / und Umultiplieiren müfste, die zusammen so viele unbestimmte 
