algebraische Gleichungen näherungsweise aufzulösen. 2741 
und es mufs also R= 0 gesetzt und daraus x genommen werden, wenn das 
Nämliche gefunden werden soll, wie, wenn Ux’ = Yy gesetzt wird. Dieses 
geschieht aber in der That, indem die Coefficienten der einzelnen Glieder 
von R, bis auf die zwei letzten, für jeden Werth von x zum Verschwinden 
gebracht werden, aus den beiden letzten Gliedern aber, dieselben zusammen 
gleich Null gesetzt, x genommen wird, so dafs der gesammte Rest A 
Null ist. 
6. 
Die sämmtlichen bis hierher beschriebenen Verfahren, den Werth von 
a zu finden, welcher der gegebenen und der Hülfsgleichung zugleich, oder viel- 
mehr der Gleichung /y = Ua” (13.) ein Genüge thut, erfordern aber nicht 
allein viel Rechnung, sobald der Grad der gegebenen Gleichung etwas hoch 
ist, sondern sie machen es auch nicht deutlich sichtbar, auf welche Weise 
die Näherungs-Werthe von & weiter rücken, so wie der willkürliche Grad 
der Hülfsgleichung höher steigt. Folgendes fünfte Verfahren thut das letz- 
tere, und ist zugleich an sich selbst einfacher. 
Man darf nämlich blofs irgend eine, z. B. von x unabhängige 
Gröfse, z. B. die einfachste von allen, 1, durch das Polynom y der gegebenen 
Gleichung dividiren, und zwar so, dafs der Quotient nach steigenden 
Potenzen von x fortschreitet: so geben die Quotienten der Coeffieienten je 
zwei auf einander folgender Glieder jenes (uotienten die verlangten Werthe 
von x für jeden beliebigen Exponenten rn der Hülfsgröfse &", bis ins Un- 
endliche. Es sei nämlich: 
1 
2. Br =PptPp,a+Pp a HP HP see 
so ist näherungsweise allgemein derjenige Werth von x, der der Gleichung 
Fy=ÜUx* entspricht, immer vorausgesetzt, dafs & für y= 0 sehr klein sei, 
2% a, Fer 
= n Fre , 
Pn 
für jeden beliebigen positiven ganzzahligen Werth von n. 
Um diesen, seiner Einfachheit wegen merkwürdigen Satz zu über- 
sehen, erwäge man zuerst, dafs, wenn, für „= 0, x sehr klein ist, auch &” 
eine sehr kleine Gröfse sein wird, und um so kleiner, je gröfser n angenom- 
men wird. Umgekehrt wird, wenn a, also auch a, irgend eine Gröfse x 
