282 Creıze: einige Bemerkungen zu den Mitteln, 
@,,1@,,2... sind Null, so dafs der Nenner von (62. und 63.) immer nur 
die m Glieder mit @,, @,, a,....a, hat. 
10. 
Zu bemerken ist, dafs der allgemeine Näherungs- Ausdruck (62.) oder 
(63.) auch zugleich durch seine Gestalt selbst anzeigt, dafs die Werthe von 
X, 0, X... dem genauen Werthe von x, der der aufzulösenden Gleichung 
Y=4%4+4,%+4a,%....44,x”=0 genug thut, nothwendig stufenweise 
näher kommen müssen. 
Der ursprünglichen Bedingung gemäfs mufs nämlich zuerst der 
erste, Newtonsche Werth — nn von x& (64.) dem wirklichen Werthe von 
x iny= 0 näher kommen als der Werth o von x, das heifst: =— statt a 
in y=0 gesetzt, mufs für y eine kleinere Gröfse geben als a,, die man 
0 
zwischen o und & 
erhält, wenn man in y, x = 0 setzt; also muls — 2 
liegen. Nun erhält man aber den Newtonschen Näherungswerth, wie schon 
oben bemerkt, wenn man nicht mehr alle Potenzen von x, sondern nur die- 
Jen von der zweiten an, als sehr klein, vernachlässigt; denn wenn man 
EN ll a so geht die Gleichung y=0 in a,+a,x= 0 über, 
welches x = — = giebt. Dieser ee ist aber kein anderer als der, 
welcher sich ergiebt, wenn man aus der gegebenen Gleichung 
65. ra, ee. — 0 
die erste Potenz von x nimmt, nämlich: 
@o 
a; + ax + a3%2....0,% 
und im Nenner x, &°.....x”-' als Null betrachtet; was mit dem Weglassen 
der höheren Potenzen von x in dem Polynome der Gleichung, von der 
zweiten an, übereinkommt. Nun kommt x, = — = bedingungsmäfsig dem 
genauen Werthe von x näher, als der W ih ) aan x. Setzt man daher eben 
dieses x, statt x in (66.), was 
67: a =— —— el ne — 
a, + x (a8 + a; x, +a,x; ....+ 0% ) 
giebt, so wird dieses x demjenigen, welches der Gleichung y= 0 genau 
. a [74 
genug thut, nothwendig schon näher kommen, als der Werth — a, vona, 
