als Grundlage der Functionen- Rechnung. 315 
(12) Ur, + As FAR ERa” 
— Ux+ Ax' . U; 1 ‚Ax’ — Ax' . Ax” . Ur ,.Ax,Ax” + Ax' Ax’s Ax”s. U: ,,Ax',Ax",8x” 
+ Ax’. Uz Az AxlAx. Ur, 0x ,Ax” 
m 
-+Ax”. Ur, ,x”+Ax” Ax”. Ur,,Ar”, ax”. 
Für jedes hinzukommende neue Increment erhalten wir auf dieselbe Weise 
eine Reihe, wie (12), bestehend, für 2 Incremente, aus 2-+ı Gliedern, deren 
erstes: die ursprüngliche Function Ux ; das zweite: die Summe aller Pro- 
ducte der abgeleiteten Functionen: Ux,,Ax in die Unionen der Ax; das 
dritte: die Summe aller Producte der abgeleiteten Functionen: Ux,, Ax, ax” 
in die Binionen der Ax, und so weiter die Summe aller Producte der abge- 
leiteten Functionen: Ux,, 3x, Ax”....Ax® mit allen Zusammenstellungen der 
n Ax zu r ohne Wiederholungen. 
Der geführte Beweis ist blos auf die Natur gegründet der Änderung 
des Werthes einer Variabeln, nach welcher sie sich als eine Addition oder 
Subtraction darstellen läfst. Er umfafst also alle Functionen ohne Unterschied, 
und so, wenn wir z. B. sin & für U setzen, mufs sich auch sin @-+Ax.... 
in einer Reihe, wie (12), entwickeln lassen. 
sine +AxX-.=sinz,+Axr sinz,,Ax +Axr, Ax”sinx,Ax', Ax” -Hetc. 
== Ar sin x; , Aa > Ax Ara sin, Axı Axı 
+ ...o En .... 
Ar Dsina,, Ax@-F/Ar7, Ar0 sn, Az, Rx 
Setzen wir nun die Incremente Ax einander gleich, oder, was einerlei 
ist, zerlegen wir die Summe aller Änderungen der Variabeln in gleiche Quo- 
ten, so wird die Entwickelung von Ux+Ax in eine Reihe übergehen, deren 
Glieder nach steigenden positiven ganzen Potenzen eines Incrementes Ax 
fortschreiten. 
Die nach (12) gebildete Reihe verwandelt sich dann in diese: 
n.n—i 
(13) Ux+n Ax = Ux, + — Axe Ux,, Art amate ÜUx,, Ax 
nn—i1*n—2 3 MT  — 
I Ax e Ur,, Axt vv». 
n.n—i**:*"-:n—c-t1 
N En er Hop 
1.22. 
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