328 Poszencer: das Taylor'sche Theorem, 
Reihen-Entwickelungen mit Hülfe des Taylor'schen 
Theorems. 
12. So wie hier die Reihe von Taylor sich darstellt, unabhängig von 
jeder andern, erscheint sie als unmittelbar hervorgehend aus der mathemati- 
schen Idee von einer Gröfsenänderung überhaupt. 
Die Veränderliche: x, y, ete. ist irgend eine in bestimmte Grenzen 
eingeschlossene Zahlgröfse, welche durch das eben so bestimmte Increment 
+ Ax, & Ay, discontinuirlich geändert wird. Die Gleichheit aber zwischen 
Px--Ax,yHAyeee* 
und der entwickelten nach Potenzen von Ax, Ay ++» «+ fortgehenden Taylor- 
schen Reihe beruht auf innerer Nothwendigkeit. 
Es folgt hieraus, dafs diese Gleichheit bestehen müsse, welche Werthe 
wir auch den x, y««» und den Ax, Ay+ «=» in beiden Theilen der Gleichung 
setzen mögen. 
Es läfst sich hiernach kein Fall denken, in welchem die Reihe für 
besondere Werthe von @, y« «+» oder Ax, Ay» +, wenn diese an sich selbst 
zu lästig sind, ein fehlerhaftes (fautif)) Resultat geben könnte. 
Dies würde scheinbar der Fall sein, wenn für solche Werthe der 
eine Theil der Gleichung die Form eines unendlich Grofsen, und der andere 
die einer endlichen Gröfse erhielte. 
Sei z. B. d2 = l(x—.a) 
so ist = 
d dx Zar 1 
dx TB 
d« dx er v1 0 4e20 31 oe c— A Er 4 
dx“ Fr, (2 — a)“ ar f 
Nach dem Taylor’schen Satze ist also: 
au re NEE Bu k® ie Aeea—1 
3) Je — u SE On 
( ) li a-+k Ix at, Tsz (x — a)“ 
P ‚ae—1 k® 
=lk-a-+2,; re RE 
Setzen wir nun 2=a, so kommt: 
k® 
(36) Ik=lor2e 
o 
