330 Poseuser: das Taylor'sche T’heorem, 
Hieraus ergiebt sich, wenn «= a gesetzt wird: 
Vet eo1eo1e3e05. 001 :20a—3.:Kk® 
v2. 3000 u.2% a! eyYa 
(41) Yk=Va+2° 
Da in dieser Gleichung der Theil links von a befreit ist, so müssen in dem 
Theile rechts die Glieder, welche von a abhängig sind, sich unter einander 
aufheben. Weil aber die Reihe rechts eine unendliche ist, so wird sie sich 
dem wahren Werthe Yk nur annähern können, und zwar desto mehr, je mehr 
abwechselnd positive und negative Glieder genommen werden. 
In der Taylor’schen Reihe für 12—-a+x (35) wird das erste Glied /x—z 
imaginär für jeden Werth von & <a, wodurch der Schein entsteht einer 
Gleichheit zwischen einer realen und einer imaginären Gröfse. Auch dieser 
Schein mufs sich in dem ganzen Umfange der Reihe, der aber als unendlich 
sich nicht darstellen läfst, auflösen. Denn setzen wir für den Fall, dafs x < a, 
in der Reihe (37) k statt x und (a—.a) statt k—a, so wird 
2 a—x 
VO 
k 
kzork = Ik + > 
In diese Form würde also jene imaginäre Reihe übergehen, liefse sie sich in 
ihrem ganzen Umfange entwickelt darstellen. 
Es bestätigt sich auf solche Weise in einzelnen Fällen, was durch die 
Herleitung der Taylor’schen Reihe aus dem blofsen Begriff der Function 
einer sich ändernden Gröfse ganz allgemein sich ergeben hat: 
dafs die Taylor’sche Reihe ihre Gültigkeit behält, was auch für Werthe 
den Veränderlichen, oder ihren Incrementen, ertheilt werden mögen; 
und der Schein, als würde sie in einigen Fällen ungültig (fautif)), ent- 
springt allein aus der Unmöglichkeit, von einer aus unendlich vielen 
Gliedern bestehenden Reihe mehr als nur ein Bruchstück zur Anschauung 
zu bringen: dagegen kann sie allerdings für die Zahlenrechnung un- 
brauchbar werden. 
13. Wird x = 0 in einer Function kdx =u für einen gewissen 
Werth von x, z.B. x = a, so wird auch k$x2"= 0, für «= 0, wenn n irgend 
eine positive Zahl ist. Sie wird =», wenn n negativ ist. Ist 2 ein ächter 
Bruch, so wird 092" =ndx""' d®x ebenfalls =x, wenn alle folgende Dif- 
ferenziale d«®x” es werden. 
