348 Dinssen: über die Trennung der Wurzeln 
und 5 enthaltenen, besondern Werth von x Null werde. Vorausgesetzt, dafs 
F. (a) und f, (6), wie auch f,,, (a) und f;,,(5) beziehungsweise gleichnahmig 
seien; so sind zwei Fälle denkbar. Entweder wird, indem sich x von a bis 
& ändert, ‚f,(x) ein- oder mehrmals Null, oder solches ist nicht der Fall. 
Wird f, (x) ein- oder mehrmals Null, und bezeichnen e,, c,, &,, C,,***.c, 
die, nach ihrer Gröfse geordneten, entsprechenden besondern Werthe von 
a; so mus, nach Lehrs. 4., f,,, (x) wenigstens (n— ı) mal den Werth Null 
erlangen, und zwar insgesammt für Werthe von x, die gröfser, als c, und 
<c, sind. Den Voraussetzungen nach hat man alsdann 
f:(<e,) und f,,,(<e,) ungleichnahmig, 
f:&e,) und f,,,(> e,) gleichnahmig, 
J;.(a) und /,(<e,) gleichnahmig. 
Sind demnach f, (a) und f,,, (a) gleichnahmig; so sind f,,, (a) und f,,.(<e,) 
ungleichnahmig: mithin gibt es wenigstens Einen Werth %, für &, zwischen 
a und c,, — und daher wenigstens n Werthe k,, k,, k,, k,,....k, für x, 
zwischen a und 5 enthalten, für welche f,,, (x) den besondern Werth Null 
erlangt. Sind aber f,(a) und f,,, (a) ungleichnahmig, so sind es auch, der 
in Rede stehenden Annahme zufolge, f, (5) und f,,,(6). Da nun, wie schon 
bemerkt, f,(>c,) und f,,,(>e,) gleichnahmig sind, und es, der Annahme 
nach, keinen Werth zwischen c, und d gibt, für welchen f, (x) Null wird: 
so folgt, dafs es wenigstens auch Einen Werth zwischen ce, und d, — und 
daher n Werth zwischen a und 5 für x geben mufs, für welchen f,,, (x) in 
den besondern Werth Null übergeht. Da endlich, wenn auch f, (x) nicht 
den Werth Null erlangt, von @—=a bis =, dennoch f,,, (x) ein- oder 
mehrmals Null werden kann: so folgt, dafs, wenn f, (a) und f, (2), wie auch 
F:;. (a) und f,,, (8) beziehungsweise gleichnahmig sind, alsdann f, (x), von 
&= a bis «= b, nicht öfter den Werth Null annehmen kann, als f,,, (x). 
Vermöge des vorhin gewonnenen, und einer wiederholten Anwendung 
des so eben erlangten Ergebnisses erhält man 
Lehrsatz 6. «. Wird, indem sich x von a bis 5, beziehungsweise 
zwischen A und B enthalten, ändert, keins von den Gliedern der Reihe 
R‘(&) Null: so sind die Zeichen-Reihen Z”(a) und Z!”(b), Glied für 
Glied, einerlei; und es können dieselben nur in so fern von einander ver- 
