Über 
eine neue Anwendung bestimmter Integrale auf die 
Summation endlicher oder unendlicher Reihen. 
Von 
H"- LEJEUNE - DIRICHLET. 
ww 
[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 25. Juni 1835.] 
U den zahlreichen und überraschenden Folgerungen, welche Gaufs 
aus seiner Methode zur Auflösung der zweigliedrigen Gleichungen, oder wie 
man sie mit Rücksicht auf ihre geometrische Anwendung zu nennen pflegt, 
seiner Theorie der Kreistheilung gezogen hat, ist besonders die Bestimmung 
gewisser endlicher Reihen, wegen der eigenthümlichen dabei zum Vorschein 
kommenden Schwierigkeiten merkwürdig. Bezeichnet man mit p irgend eine 
Primzahl und mit = wie gewöhnlich den halben Umfang für den Radius ı, 
so läfst sich, je nachdem p die Form Au-+ı oder die Form Au +3 hat, die 
Summe der Reihe 
2 
SR 2 27 27 2 2% 
c08 0° — + 008 1° — + 0082? — + re... + c0s (p—1)" — 
p p [2 p 
oder die der Reihe 
R ol) 27, . 27 n 27 2 2 2% 
sin 0° — + sin 1° — + sin 2° — + ee. +. + sin (p—1)” — 
p p p p 
auf eine höchst einfache Weise durch p ausdrücken. Die erwähnte Methode 
zeigt nämlich, dafs diese Summe die Wurzel der reinen quadratischen Glei- 
chung x&®=p, und also + Yp oder —Yp ist. Da die Summe für jede Prim- 
zahl p nur einen Werth hat, so bleibt also blofs noch zu entscheiden, mit 
welchem Zeichen man die Wurzelgröfse zu nehmen habe. Eine Unbe- 
stimmtheit, wie die hier sich zeigende, findet sehr häufig statt, läfst sich aber 
gewöhnlich leicht beseitigen, indem aus der Natur der zu bestimmenden 
Gröfse leicht erhellt, ob ihr das positive oder negative Zeichen zukommt. 
