392  Dirıenter: über eine neue Anwendung bestimmter Integrale 
Im vorliegenden Falle aber treten dieser Entscheidung grofse Schwierigkeiten 
in den Weg, da die Glieder der Reihe zum Theil positiv, zum Theil negativ 
sind, und sich im Allgemeinen nicht übersehen läfst, ob die einen oder die 
andern überwiegen. Für besondere Werthe von p ist die Frage natürlich, 
vermittelst der aus den Tafeln zu entnehmenden Werthe der trigonometri- 
schen Functionen, leicht zu entscheiden und man findet so, dafs jedesmal 
das positive Zeichen genommen werden mufs. Für die allgemeine Frage ist 
jedoch dadurch wenig gewonnen und die Theorie der Kreistheilung scheint 
kein Mittel darzubieten, das auf dem Wege der Induction gefundene Resultat 
für alle Fälle festzustellen. Gaufs ist in seinen Disquisitiones arithmeticae 
auf die Bestimmung des Zeichens nicht eingegangen, sondern hat dieselbe 
später zum Gegenstande einer besondern Abhandlung gemacht (*). Das darin 
befolgte Verfahren, welches der Idee nach eben so einfach als es in der Aus- 
führung scharfsinnig ist, besteht darin, die obigen Reihen oder vielmehr die 
allgemeinen Ausdrücke von derselben Form, in denen irgend eine ganze 
Zahl n an die Stelle der Primzahl p getreten ist, in ein Product von Sinus zu 
verwandeln, deren Bogen in arithmetischer Progression fortschreiten, nach 
welcher Umformung sich das Zeichen sogleich bestimmen läfst, indem man 
findet, das die negativen Factoren in gerader Anzahl vorhanden sind. Die 
Schwierigkeit, a priori, d. h. vor Durchführung aller Rechnungen, klar zu 
übersehen, warum der von dem grofsen Geometer eingeschlagene Weg zu 
einer so merkwürdigen Umformung führt, hat den Wunsch in mir erregt, 
die Frage auf eine andere vielleicht übersichtlichere Weise zu behandeln, 
und ich glaube, das Resultat meiner Bemühungen der Akademie vorlegen 
zu dürfen, da die Erfahrung vielfältig bewiesen hat, dafs bei so schwierigen 
Untersuchungen Gewinn für die Wissenschaft daraus entspringen kann, wenn 
man dasselbe Problem unter sehr verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet. 
Eine neue Auflösung der oben erwähnten Aufgabe wird um so eher 
einiges Interesse darbieten können, als die schöne, von Gaufs gegebene 
Analyse bis jetzt die einzige ist, durch welche die eigenthümliche, durch das 
doppelte Zeichen hervorgebrachte Unbestimmtheit gehoben wird. Zwar hat 
sich auch Libri mit der Summation dieser Reihen beschäftigt, allein seine 
Methode, wie scharfsinnig sie auch sei, scheint nicht geeignet, die eben 
(*) Summatio quarumdam serierum singularium. Comment. recent. Societ. Gottg. Tom. I. 
