404  Dirıcnter: über eine neue Anwendung bestimmter Integrale 
Legt man der ganzen Zahl n nach einander die 4 Formen Au, 4u-+1, 4u +2, 
444-3 bei und führt die durch G und H bezeichneten Reihen wieder ein, 
so erhält man 
2i?r arızm 
3, cos iin, Sasin „= In, n=ıun 
n 
2ie tz 
3 cos =Vn, 3)'sin ==i05 n=Ap-+1, 
n n 
2ier SEorzT 
> cos == 3 sin —) n=4u-+2, 
2i? 7 ZU TE, 
> cos „— x sin > = Vn, n=4u-+#3, 
wo sich die Summationen von i=0 bis i=n—-1 erstrecken. 
S. 4. 
Zum Schlufs wollen wir nach Gaufs noch zeigen, wie man aus den 
eben erhaltenen Summenausdrücken den Fundamentalsatz der Theorie der 
quadratischen Reste auf eine höchst einfache Weise ableiten kann. 
Bezeichnet p eine ungerade Primzahl, so ist der Rest irgend eines 
nicht durch p theilbaren Quadrats bei der Division durch p offenbar unter 
denen enthalten, welche die Reihe 1°, 2°, 3°,» .»+, (— “ liefert und man 
beweist leicht, dafs diese Reste, welche in irgend einer Ordnung mit 
I. Qa,, As, Az, er. Q,_, 
2 
bezeichnet werden sollen, alle von einander verschieden sind. Es seien ferner 
1. DIRb loser ih.n, 
diejenigen Zahlen der Reihe 1, 2, 3,**«+, p—1, welche in (I) nicht vor- 
kommen. Dies vorausgesetzt, sagt man bekanntlich von einer durch p nicht 
theilbaren Zahl q, sie sei quadratischer Rest ‚oder Nichtrest von p, je nach- 
dem der Rest, den g bei der Division durch p läfst, zu (I) oder zu (II) gehört, 
und man beweist ohne Schwierigkeit, dafs je nachdem der erste oder der 
zweite Fall Statt findet, die Reste von 1°, 2°q, 3°q, »**« (= ) 9; wenn 
2 
man von der Ordnung absieht, mit (I) oder (II) zusammenfallen (*)- 
(*) Disquisitiones arithmeticae. Sect. IV. 
