406 DirıcuLer: über eine neue Anwendung bestimmter Integrale 
Spur 2m Tri REITEN EN 
Se ss eu het 
=0 s=1 
. 
Der Werth der ersten Seite ergiebt sich sogleich aus den Ausdrücken des 
vorigen $. und ist, da p ungerade, Yp oder Yp V—ı, je nachdem p die Form 
4#-+1 oder die Form 4u+3 hat. Beide Werthe sind in dem Ausdrucke 
Yp V—1) 79" enthalten, und es ist also 
1422 7 Ten). 
al 
Die obige Gleichung wird so 
a2 
en 
sepr— 
x € 
s=0 e 
Nimmt man jetzt an, g sei ebenfalls eine ungerade Primzahl, so erhält man 
durch eine blofse Vertauschung 
wo e=+1 oder —ı, je nachdem p quadratischer Rest oder Nichtrest von 
q ist. Werden beide Gleichungen in einander multiplicirt, so kommt 
Pt)? + 2151)? 
b) 
= deypg v1)" 
9-1: (gig?rpi2) 2 yı 
5 > ga Babe 
t 0 s=0 
oder was ganz dasselbe ist, indem man AstryY—ı zum Exponenten von e 
addirt, 
tg sp au 2 g—-i1\2 
zZ E En) an de Vpg vn)‘ ) + ( 2 ) A 
pi 
2 
Der Ausdruck gs-+pt läfst offenbar bei der Division durch pgq innerhalb 
der Summationsgrenzen nicht zweimal denselben Rest; wären nämlich die 
Reste, welche gs+pt und gs-+pt’ entsprechen, einander gleich, so wäre 
9(s—s)+p(t—t') durch pg und folglich, da p und q von einander verschie- 
dene Primzahlen bezeichnen, s—s’ durch p, und z—t' durch g theilbar, was 
wegen der Grenzen, in welche s, s’, so wie 7, t' eingeschlossen sind, nur 
Statt finden kann, wenn zugleich s=s’ undt=1t’ ist. Die Reste von gs+pf 
in Bezug auf den Divisor pg sind also 0, 1, 2, 3, +» ++, pg—1, und man kann 
diese Reste an die Stelle der Werthe setzen, welche qs-+pt bei der doppelten 
