ME (az + 8) + 6 (a + Hr)=axz+b(a ta+i)=a rt AE — 1) 
a—1 
et plus généralement : 
b(a?—1) 
Cr | 
g°T (it 
La notion de l'élévation aux puissances fonctionales conduit nécessairement à 
celle de deux autres opérations, opposées à la primitive et dont le calcul est très 
analogue à celui des racines et des logarithmes. Nous avons essayé d'en établir les 
règles fondamentales, mais quelqu'utile que ce calcul puisse être dans la solution de 
certains problèmes très intéressans, nous nous abstenons pour le moment d'en com- 
muniquer quelque chose, vu que cela nous éloignerait trop de l'objet de nos pré- 
sentes recherches, et nous n'avons fait mention ici des puissances fonctionales que 
pour montrer l'application de la proposition du N°.2 au développement de ce genre 
particulier de fonctions, en séries suivant les puissances de la variable. 
Soit 4 la valeur (ou une des valeurs, s’il ÿ en a plusieurs) de zx, tirée de l'é- 
quation pr —T, de sorte qu'on ait: gh—}; on aura également op’ — p (pA) 
=, pA—=y(p#A)—=4#4, et, en général, g"h—Àh.  Désignons en-outre par 
"JL, "H, "H,.-."H" les valeurs respectives de la fonction g"z et de ses différen- 
üelles du premier jusqu'au mème ordre, pour le cas où x. Il en suit d'abord 
qu'a cause de: 
d-5 d-p(g"" x er Ne __ Læ) nt d-p(g 2x) __ 
LE TEE = p (y y (y 2) = 
ni nero d- (Cm E. Er, æz} 
p (p 'z)-p (p DR te ee ee een ee — 
p(g"—'z)-p (px): (px). -p'(pr):pz 
il doit être : 
1H k 
eH = (y) 
Maintenant, puisqu'en vertu de la définition d'une puissance fonctionale, on peut 
obtenir la fonction "x de deux manières, savoir: ou en écrivant dans la fonction 
