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admettra généralement au moins deux solutions différentes. Le contraire pourrait 
avoir lieu dans le cas de MN, ou de 4=B.  Remarquons qu'il n’est question 
ici que des valeurs de x et y inférieures à p. 
En supposant dans la dernière congruence 4=1, l'on obtiendra la suivante 
zx + By — C= 0 (mod. p.), 
démontrée pour la première fois par LAGRANGE. 
En supposant 4 —B—1 et C—— 1, l'on aura le théorème 
x + y? + 1 = 0 (mod. p.) 
démontré par Euxer, (Wovi Commentarii Academiae Petropolitanae, tom. W. 
pag. 49). Ce théorème, comme on le sait, sert à établir la proposition relative 
à la décomposition d'un nombre entier quelconque en quatre carrés. 
Rémarquons au reste que du théorème exprimé par la congruence 
2 + By — C = 0 (mod. p.) 
on peut facilement déduire la proposition plus générale que nous venons de démon- 
trer. En effet, la congruence 
A'x° + By — C= 0 (mod. p.), 
pouvant être mise sous la forme 
AE + (BE +ph) y — (CE pk) = 0 (mod. p.), 
on pourra déterminer # et # de manière à ce que B°—p4 et C'+p# soient divi- 
sibles par 4’; en supposant donc 
B' + pk = A.B à C+pk = AC 
la dernière congruence deviendra 
Ars + À. By — AC — 0 (mod. p.) 
ou bien, en supprimant le facteur commun 4’, premier à p, l'on aura 
z + BF — Co (mod. p.) 
congruence qui est précisément celle de laquelle nous sommes partis tout à l'heure, 
ExempLe. Trouver les solutions de la congruence 
Gz° E 9ÿ — 5 = (mod. r1.). 
