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234 REPORT— 1873. 



s'obtiendront, soit diroctement si Ton peut avoir ce et y explicitemcnt cxprime's 

 en z, soit par les regies relatives aux fonctions implicites. Dans ce dernier 

 cas nous aurons d'abord, 



^a^'+'^y'+^ll=0, ^ii'^''+^2/'+^=0, ... (2) 

 iLv ay dz ax ay dz 



puis: 



'Iix" + '%"+{'^,-ft/]Lijx',ty\ +i^a7'4--^ 2/'+— =0,1 

 dx dy \dx^\lxdij dy'^-^ ' J^ dxdz' dydz dz'' ' I 



''^lx" + %" + C^, ^,'l±rx,y'\ +^ x'+^y' + '^=0, 

 dx dy \dx' dxdy dy^-'^ J ^ dxdz dydz dz^ ^ 



et ainsi de suite. 



En second lieu je remarque que z=f(x, y) etant la fonction qui resulte de 

 I'e'limiuation du parametre a, on reproduira identiquement la quantite z si 

 Ton y remplace a'cty par les valours qu'on tire de la resolution des equations 

 (1), car autrcment ce serait de deux relations conclure une troisiome qui en 

 serait distincte. D'apres cela et en regardant x et y eomme fonctions de z, 

 la premiere derivee de I'identite obtenue donnera I'egalite suivante : 



^x'V^y'-l = (4) 



dx dy 



la seconde et la troisieme celles-ci : 



d^, 

 dx 



z ,, , dz It {d'z d'z d'z^^ , ,\ ^ zi--. 



/d'z d'z dh d'z^ , \ _ 

 '^\Ix'' d^' d^'' fV-^''"' '^^3"" 



(6) 



les quantite's x', x", x" , y', y" , y'" devant etre remplacees par leurs valeurs 

 .en fonction de s, ou eliminees au moyen des relations (2), (3), &e. En con- 

 tinuant les memes calculs jusqu'a la derivee d'ordre n, on parviendra a un 

 systeme de n equations, ou les derivees partielles de I'ordre le plus eleve 

 seronjt eyidemipeijt : 



d"z d"z d"z 



dx"' dx"-hhj ' ' ' dy"' 



et, en y joignant les deux relations proposees, il sera possible d'effectuer 

 relimination du parametre a et des n fonctions arbitraires A, B, . . . L. 

 C'est le resultat cberche qui est ainsi une equation aux differences partielles 

 d^ordre n. 



Dans le cas le plus simple de n—1, lorsqu'il n'existe qu'une seule fonction 

 arbitraire, cette equation aux differences partielles s'obtient immediatement 

 en resolvant par rapport a a et A les equations 



?>('^'; >/,~,a, A) = 0, ;/,(a-, y, z,a,A) = 0; 

 ayant en effet 



(i=<t{x,y,z), A = ^ (x, y, z), 



