ON THE ELIMINATION OF AKBITRAIIY FUNCTIONS. 



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il ne restera plus trace du parametre ni de la fouction arbitraire dans lea re- 

 lations (2) qui deviennent : 



dx dy dz ax dij 



dz 



efc le resultat de relimination do x' ct y entre cos equations et 1' equation (4) 

 est immediatement donne en egalant ii zero le determinant : 



( dz d^ d^ '^ 

 dx' dx dx 



dz d<^ d^ 



^=< dy' dy' di' > 



_-. (Z* fZ^f 



dz ' dz 



Sans m'arreter a tirer de \a les e'quations aux diflferences partielles des cylin- 

 dres, des cones etc., jc prcuds pour exemple les surfaces reylees dont la gene- 

 ra trice est la droite : 



x=Az + 'B, y=az+C, 



ce qiu nous dounera un cas d'elimination do trois fouctions arbitraircs. Or 

 ayant 



a:'=A.,x" = 0,x"' = 0; y'r^ct, y" = 0, y"' = 0, 



les equations (5) et (6) deviennent sini|jlenient 



/drz _c^_ d^YX a\ =0 

 \dx'^' dxdy' dy'^-^ ' /i 



/<Fs d'z d'z d^YA a\ =0 

 yLv'' dx'-dy' dxdy'-' dy''-^ ' /a 



et il ne reste plus qu'a effectuer Telimiuation de -, ce qui est bicn en effet 



le resultat connu. 



La consideration des surfaces enveloppes, ou s'offre un mode de generation 



entierement different des precedents, conduit a definir une fonction z de x et 



y par deux equations contenaut un parametre variable a, et dont I'une est la 



derivee de I'autre par rapport a ce parametre. En designant de nouveau 



par A, B, . . . L, n fonctions arbitraires de a, ces conditions s'expriment 



ainsi : 



f(x,y,z,a,A,'B,...L)=0, (7) 



d ,, 



j-^f(x,y,z,ci,A,B,...L) = 0, (8) 



et nous nous proposons encore de former entre la fonction et les variables 

 indepeudantes, une equation aux differences partielles qui subsiste quelles 

 que soient ces fonctions de a. 



A cet effet je congois que x et y soient determines par les e'quations (7) et 

 (8) en fonction de z, de maniere a avoir toiijours les relations prccedemment 

 obtenues : 



dz , clz , , ^ dz „ dz ,, . (d?-z dH d-z~^ , A „ , 

 -7- -"^^ +1-2/ —1 = 0, X + — y -^i —r, -J—, -j-rJ^ > y ] =0> etc. 

 dx dy dx dy \dx^ dxdy dy^'^ *^Ji 



