ON THE ELIMINATION OF ARBITRARY FUNCTIONS. 237 



entre ces derivees partielles et les quantites «, A, B, . . . L, Nous pouvons 

 done en y joignant celles-ci, 



effectuer I'elimination dii paramotro et des n fonctions arbitraires ; c'est Ic 

 rciultat cherchequi estainsiune equation aus differences partielles d'ordre n. 

 Nous aliens en faire I'application a deux exemplcs tires de la gcometrie, apres 

 avoir remarque que les equations ci-dessus, en .v' et y', jointes a la relation 

 (4), 2xv'+qy'— 1=0, donnent par I'elimination de x' ety', la condition A=0, 

 A etant le determinant du systeme suivant : 



s 



Mais si on ajoute aux termes de la premiere et de la seconde colonne hori- 

 zontale ceux de la troisicme, multiplies d'abord par p et ensuite par q, on aura 

 plus simplement A = B'-— c? en posant: 



' W' d^z' dz'^'^JJdz ' 

 p fdj d'f d'f^. \ , df^ 



dxdy ^ dydz ^ ^ dxdz ^^ dz' ^^^ dz '• 



Ce resultat pent s'obtenir directement d'une maniore tres-facile ; je me bome- 

 rai a en faire Tapplication d'abord aux surfaces developpables enveloppe des 

 positions d'un plan mobile : z + av+ Ay + B=0, ce qui donne immediatement 

 A = r, B = s, C = < d'ou par consequent I'equation si connue : s'^—rt=0. 

 Soit en second lieu les surfaces canaux, enveloppe des positions d'une 

 sphere de rayon constant, 



(x-Af + (y-Bf + (r-«) = a"; 



dont le centre decrit uue courbe quelconque. On obtient alorS 



|A = l+pH (=-«)'•. iTi=pq + (z-a)s, ^G=l + q^+(z-a)t, 

 ct le parametre s'elimine au moyen des relations 



x-A + (z-a)2> = 0, y— B + (r-n)2 = 0, 

 qui donnent en substituant dans I'equation de la sphere, 



De la rdsulte I'equation aux differences partielles du second ordre : 



