238 REPORT— 1872. 



Nous ne nous sommos occiipes jusqu'ici de la formation des equations anx 

 diflPerences partielles que dans le cas d'une fonction de deux variables. 



Considerons maintenant par exemple une fonction ?t de .r, y, z, en la 

 definissant par ces trois equations, ou entrent detix parametres a, /3, et un 

 nombre quelconque n de fonctions arbitraires A, B. . . . L, de ces para- 

 metres, savoir : 



<i> {x, y, z, n, a, /3, A, B, . . . L)=0, 



^ (.r, y, z, u, a, /), A, B, . . . L) = 0, 



(a?, 1/, r, M, o, /3, A, B, . . . L) = 0. 



L' elimination des fonctions arbitraires s'effectuera par la meme methode que 

 precedemment, et donnera pour rcsultat une equation aux differences parti- 

 elles d'ordre n. La meme conclusion s'obtiendra aussi en considerant les 

 relations : 



.•/(•^,2/,r,ii,a,/3,A,B,...L) = 0, 'J^ =0, [| =0. 



Mais elle n'a plus lieu, si Ton pose seulement deux equations avec un seul 

 parametre variable, savoir : 



^(.r,2/,r,tt, t<,A,B, ...L) = 0, ^(.r,y,r,«, a, A, B, . . . L)=0; 



car alors on peut former une equation aux differences partielles d'ordre n, 

 representant le resultat de rclimination d'un nombre de fonctions arbitraires 



tl ( 'iX 1 ^ 



de a supcricur a n, et egal a V) • Lorsque le nombre des quantites 



A, B, . . . L n'est point compris dans cette forraule, s'il est egal a 4 par ex- 

 emple, de sorte qu'on ne puisse pas obtenir une equation aux derivees par- 

 tielles du second ordre, on parvieudra en introduisant les derivees du troisieme 

 ordre, a plusicurs relations distinctes au lieu d'une seule. Cette circonstance 

 que presente souvent I'elimination des fonctions arbitraires, montre qu'on 

 doit attacher une grande importance aux formes analytiques ou Telimination 

 donne lieu a une conclusion precise, a une seule et unique equation aux 

 differences partielles ; et tel a etc le motif qui m'a fait cntreprendre ces 

 rechcrches dont jc prie I'Association Britannique de vouloir bien agreer 

 Thommagc. 



Report on the Discovery of Fossils in certain remote parts of the 

 North-western Highlands. By William Jolly. 



A LIMESTONE Tuus from Durness and Loch Eribol, in the north of Sutherland, 

 with varying thickness but more or less continuity south by Loch More.Inchua- 

 damph, Ullapool, and Loch Maree, to Kishorn near Loch Carron, Avhere it dies 

 out on the mainland. This limestone rests on a thick deposit of quartzite, 

 and this again on the red sandstone of the west coast. All of these rocks 

 enter into some of the grandest scenery of the North-western Highlands. 



These rocks were considered unfossiHferous tiU 1855, when Mr. Peach 

 made his great discovery of those fossils in the Durness limestone which 

 were classed by Mr. Salter as Silurian, and the discovery of which enabled Sir 

 Er. Murchisou to complete his classification of tlie rocks of the N.W. of Scot- 



