TRANSACTIONS OF SECTION A. 



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un tres-(5l6gant crit^riumi que je vais rappeler ici. J'en iiidiquerai brievement 

 une d($monstratipn. J'ajouterai, pour le cas ou la conique est una liyperbole, un 

 crit^rium permettant de distinguer le mode de r(5partition des trois points donnas 

 entre les deux branches de la courbe. 



Le probleme, qui consiste a determiner une section conique par trois de sea 

 points et par son centre, n'admet qu'une solution. Le changement du cenre de la 

 courbe, quand les donn^es restent r^elles, ce qu'on suppose, ne peut done avoir lieu 

 au moyen d'un passage par I'imaginaire. Le centre etant donncS, le changement ne 

 peut avoir lieu non plus au moyen du passage par le genre parabole, sans que la 

 courbe ne d^genere en deux droites paralleles. Imaginons done les trois points 

 donnes comme fixes et le centre comme mobile ; envisageons le lieu que doit parcourir 

 ce centre pour que la conique d^giSne'-e de la sorte : ce lieu stSparera sur le plan les 

 regions des centres des ellipses et les regions des centres des hyperboles. Or ce lieu se 

 compose des trois droites men(5es par les milieux des cot^s du triangle form^ par les 

 points doun^s. II suftit d'un instant d'attention pour conclure de la le critdrium de 

 Steiner, que voici : 



Solent a, b, c les trois points donnes ; soient a', b', c' les ^nilieux des droites be, ca, 

 ab respectivement. Les droites b'c', c'a', a'b' partagent le plan en sept regions. 

 Trois de ces regions contiennent les points a, h,c. Ce sont les regions ou se trouvent 



les centres des hg^ierboles passant par n, b, c. Dans les quatre autres se trouvent les 

 centres des ellipses, 



Une demonstration analogue s'applique au criterium que j'ajoute maintenant : 



Pour que les trois jwints a, b, c soient sur- une seule et tneme branche d'hyperbole, 

 ilfaut et il snffit que le centre soit iilace dans un des angles op2}oses imr le sominet a 

 ceux du triangle a, b, c. 



Si le centre est place a Vinterieur du triangle a b' c', le point a est sur une branche 

 d'hgperbole, les points b, c, sur l' autre. Si, de meme, le centre est place a Vinterieur 

 d'un des triangles b c' a' an ca'b', le jwint b, dans le premier cas, le point c, dans le 

 second, sont sur une branche, les deux nutres sur Vautre branche. 



Enfin, si le centre est place entre un cote du triangle a b c et la parallele « ce cote, 

 exterieurement d'aUleurs au triangle a be, les deux points situes sur le cote dunt il s'agit 

 sont sur une meme branche, et le troisieme point sur Vautre branche. 



La figure suivante permet de resumer aisement ces di-\-ers resultats. Les 

 regions des centres des ellipses sont figurees par des hacbures. Dans les regions 

 des centres des hyperboles, la repartition des points entre les branches est figures 

 ainsi : le syniTiole a\bc signifie que a est sur une branche, b, c sur I'autre, et la 

 symbole abc signifie que les trois points sont sur une meme branche. 



Le criterium de Steiner et celui que je viens d'y aj outer a'appliquent sans 

 modification au probleme de la determination d'une "conique par son centre et 

 trois de ses tangentes. Pour faire cette application, il suffira de remplacer, dans 

 ce qui precede, les droites be, ca, ah par les trois tangentes don n<les. La demonstra- 

 tion se fait aussi aisement et par des precedes analogues. 



' Demontrg r6cemment par M. Hunyadi dans le Journal fiir die reins vnd 

 angewandte Mathematik, vol. xci. p. 248. 



