22 REPORT— 1873. 



Remarks on Professor Evans's Method of solving Cubic and other Trinomial 

 Equations. By the llev. IIobert Hakley, F.li.S. 



Sur T Irrationalite de la Base des Logarithmes Hyperholiques. 

 Par Ch. Hekmite. 



On reconnaitra volontiers que dans le domaine math^matique, la possession 

 d'une verite importante ne devient complete et detinitive qu'autant qu'ou a rcSussi 

 a I'etablir par plus d'uue methode. A cet egard, la tbeorie des fonctions eUiptiques 

 oft're un example ceiebre, present a tons les esprits, mais qui est loin d'etre unique 

 dans I'analjse. Je citerai encore le tbeoreme de Sturm, reste comme envelopp^ 

 d'une sorte de mj'stere jusqu'a la memorable decouverte de M. Sylvester, qui a 

 ouvert pour penetrer au coeiu- de la question, une voie plus facile et plus feconde 

 que celle du premier inventeur. Telles sont encore dans I'aritbmetique superieure, 

 les lois de reciprocitiS eutre deux nombres premiers auxquelles est attache le nom a 

 jamais ilhistre d'Eisenstein. Mais dans cette meme science et pour des questions 

 du plus haut iuteret, conime la determination du uombre des cla.^ses de formes 

 quadratiques de meme invariant, on a ete moius beureux, et jusqu'ici le merite de 

 la premiere decouverte est rest^ sans partage a Diricblet. Lntin et pour en venir 

 a I'objet de cette note, je citerai encore dans le champ de I'aritbmetique, la pro- 

 position de Lambert sur I'irrationalite du rapport de la circonfereuce au diametre, 

 et des puissances de la base des logarithmes hyperboliques. Ayant ete recemment 

 conduit a m'occuper de ce dernier nombre, j'ai Thonneur de soumetire a la reunion 

 de I'Association Eritannique une demonstration nouvelle du tbeoreme de Lambert, 

 oil n'intervient plus le calcul integral, et qui, je I'espere, paraitra entierement 6l& 

 mentaire. Je pars simplement de la serie : 



„ i» 



^ =1+1+0+- •+rx:«+-' 



et posant pour un instant : 



X 



r(.r) = l+j+j^,+ ..+l-2--«, 

 ce qui permet d'^crire : 



.2. .n-t-i 1 .2. .n 



.r' 



^ 1.2..« + 1 1.2..«i-2'" '^l.2..n+k+l 



il suffira comme on va voir, de prendre les derivees d'ordre n des deux membres de 

 cette relation. Effectivement, on obtient d'abord : 



T\ = ^— > 



oil *(.r) est un polvnome a coefficients entiers du degrtS n, dont il n'est aucunement 

 necessaire d'avoir I'expression qu'il serait d'ailleurs ais^ de former. Nous remarque- 



F(.i-) 

 rons ensuite, a I'^gard du terme— ;^+i' que la differentiation effectutSe n fois de 



suite, fait disparaitre les d(5nominateurs des coefficients, de sorte qu'il vient : 



F(.r)_^,(.r) 



*,(a;j etant un polynome dont tons les coefficients sont des nombres entiers. De 

 la relation proposee, nous tirons done la suivante : 



/*(£) -*^ ^ " {k-\-\)i k+2)....(k+ nli^_ 

 a> + i .J- 1.2.,.. k+2n + l 



