TRANSACTIONS OF THE SECTIONS. 23 



ou bieii, sous une autre forme : 



e*(.r)-*,(x) = x -^^ 17277:: k+2^+i 



1.2 M-^rt + l .n4-2 k-^2n+i' 



Or je dis qu'en faisant croitre n, le second membre, qui jamais ne peut s'^vanouir, 

 deviendra plus petit que toute gi-andeur donnee. 11 en est effectivement ainsi du 



. , *^"+' ,,, , ^ , -• • fi • ^(k +l)(k+2)... (k+7i)x'',^ , 



facteur ^^ — „ , et d autre part, la serie mnnie > — , ^j nr^ — t^ i-?s — rr etant 



1.2....w' ^ ' ■^n-rl .n+2. . . .k+2n+l 



1 „ ^ 1.2.... k+n .1* ,, , „ 



mise sous la lorme > — tt ;^ 5-r^i — n • =1 — s ti o" reconnait quelle a 



-^n+l.n+2 k+2n+l 1,2 /.;' ^ 



,. .. . ■ X ^ ^^ 1 r t 1-2 k+n 



pour limite supeneure e =>,i— ^ , , car le lacteur — ^^-= r— = r-,-fr — |-,- 



'^ ^ ■^1,2. .. .k M+l.«H-2. .../c+2«+l 



est iuferieur a I'uuite. 



De la resulte qu'en supposant x un nonibre entier, e* ne peut etre une quantity 



commensurable - ; car on aurait 





et cette fraction dont le numerateur est essentiellement entier, d'apres ce qui a 6t(5 

 etabli a I'egard des polynomes *(«) et ^^(x), ne peut sans etre uuUe, descendre 



au dessous de — , 



r, -1 T 1 e"—e~' X 2 



L. expression decouverte par Lambert : ;=i_i_ * •,- •. • • 



^ ^ gx-j-g-* i+TT-T; J l^e J evite amsi 



d'employer, n'en reste pas moins un r^sultat du plus grand prix et qui ouvre la 

 Toie a des recberclies curieuses et interessantes. En supposant par exemple a-=2, 

 on peut presumer qu'il restera quelque chose, de la serie si simple des fractions 

 integrantes ayant pour numerateurs le nombre constant 4, dans la fraction con- 

 tinue ordinaire equivalente, dont les numerateurs seraient I'unite. En efi'et, il 

 parait que de distance en distance, viennent alors s'offrir des quotients incomplets 

 continuellement croissants. C'est du moins ce qu'indique le i-esultat suivant, du a 

 M. G. Forestier, ingeuieur des Pouts et Chaussees a Rocliefort. Prenaut I'expres- 

 sion que nous avons en vue, a partir du ternie ou les fractions integrantes sont 

 inferieures a ^, c'est- a-dire la quantite 



04:^ 4 



^^^13+.. 



M. Forestier a trouv6 pour la fraction continue ordinaire (Squivaleute 



la serie suivante, des quotients incomplets, q, q', q", etc., a savoir : 2, 2, 1, 20, 1, 10, 

 19, 1, 2, 11, 7, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 20, 3, 1, 3, G7, 2, 2, 3, 1, 5, 1, 3, 3, 147, .... 



Or on y voit figurer les termes 19, 20, 67, 147, qui sembleut justifier cette pre- 

 vision. 



