Theorie der Iransformations-Gruppen. 233 



fach ausgedehnten Raumes æ, 3/, z, die eine Pfaffsche Glei- 

 chung 



dz — y dœ = 

 invariant lassen. 



Sei jetzt vorgelegt eine beliebige Gruppe von Berührungs- 

 Transformationen der Ebene. Ich betrachte alle infinitesimale 

 Transformationen derselben, die in der Umgebung des Punk- 

 tes Æ? = 2/ = 2 = von erster Ordnung sind. Dieselben besitzen 

 jedenfalls die Form 



a^ z-p -^ a^ zq + n'g xq + a^ {æp — yq) + a^yp + a^ {æp + yq) 



+ a 7 {œp + yq + zr) + . . . . 



wobei die ai Constanten bezeichnen, während die weggelasse- 

 nen Glieder von zweiter Ordnung sind. 



Die Transformationen erster Ordnung transformiren (Bd. 

 in, pg. 403 — 412) die durch Origo gehenden elementaren 

 Richtungen dæ, dy, dz durch eine lineare Gruppe, die entweder 

 drei, vier, fünf oder sechs inf. Transformationen enthält. Da- 

 bei ist zu bemerken, dass eine inf. Transformation der Form 



æp + yq + zr + . . . ^ tl^ 



die besprochenen Richtungen invariant lässt. Hiernach sind 

 die folgenden vier Hauptfälle denkbar. 



1) Die Richtungen dæ, dy^ dz werden durch eine drei- 

 gliedrige Gruppe transformirt. Alsdann enthält die ursprüng- 

 liche Gruppe entweder drei oder vier Transformationen erster 

 Ordnung. Dieselben haben entweder die Form 



{A) æq + Å.ip + . . ., yp + /j.tß + . . ., æp — yq-\- v ip-^ . . . 



wo A, /,{, V Constanten sind, oder die Form 



{B) æq + . . ., yp + . . ., æp — yq + . . ., æp + yq + zr+ . . . 



2) Die Richtungen dæ, dy, dz werden durch eine vier- 

 gliedrige Gruppe transformirt. Die inf. Transformationen 1. 

 0. der ursprünglichen Gruppe besitzen entweder die Form 



