234 Sophus Lie. 



(O) æq+ Xf + ., yp + ßip + ., æj) + vip + ., yq + ptp-^ '• • 

 oder die Form 



(Z>) æq + . ., yp + ., æp + . ,,yq + . ., æp + yq + zr + . ., 



3) Die Richtungen dæ, dy, dz werden durch eine fünf- 

 gliedrige Gruppe transforrairt. Die inf. Transformationen 1. 



0. besitzen entweder die Form 



{E) zp + Xil) ., zq + piip ., xq + vi}) ., æp—yq + pip + .,yp + eip + ., 

 oder die Form 



(F) zq + .., zp + .., ajq + .., æp~yq+'.., yp + .., æp+yq + zr + .. 



4) Die Richtungen dæ, dy, dz werden secÄsgliedrig trans- 

 formirt. Die inf. Transformationen 1. 0. besitzen entweder 

 die Form 



(G) zq+aip+..,zp+ßip+.., æq+yip+.., æp+oip-h..,yq+sip+..,yp+pip+,. 

 oder die Form 



(H) zq + . ., zp + . ., æq + ,., æp + . ., yq + . ., yp + . ., zr + . .- 



Es giebt also acht verschiedene Möglichkeiten, die wir 

 im Folgenden separat untersuchen müssen. 



§ 1- 



Die Richtungen dx, dy, dz werden dreigliedrig 

 transformirt. 



Diese erste Catégorie von Gruppen wird nach dem Voran- 

 gehenden dadurch charakterisirt, dass ihre inf. Transformationen 



1. 0. entweder die Form (Ä) oder die Form {B) besitzen. 

 Sie enthält (Bd. III, p. 405) dabei drei unabhängige inf. Trans- 

 formationen nullter Ordnung 



2? + . . ., g + . . ., r + . . . 



Wir müssen zunächst untersuchen, wieviele und welche Trans- 



