240 Sophus Lie. 



Ist nun c = 0, so bilden die linearen partiellen Dififeren- 

 tial- Gleichungen 



p + ..=0, g + .. = 

 ein vollständiges System, das bei der Gruppe invariant bleibt. 

 In diesem Falle könnte daher die Gruppe in eine Gruppe von 

 Punkt-Transformation einer zweifach-ausgedehnten Mannigfal- 

 tigkeit übergeführt werden. 



Wir können daher annehmen, dass c ^ und dass in Folge 



dessen o- = ist. Wir können überdies, indem wir a(r + . .) 

 als neue r + . . einführen, die Grösse a gleich l setzen. 

 2. Betrachten wir nun die fünf Gri)ssen 



p + . ., q + . ., r + . ., æq + . ., æp — yq -r . . 



so ist klar, dass dieselben eine fünfgliedrige Funktionengruppe 

 bilden, welche mit der Gruppe 



p' , q' + æ' r\ r\ æ' q' ^r l^ x'^^ r\ æ' p' — y' q' 



gleichzusammengesetzt ist. Da überdies die Funktionen jeder 

 Gruppe unabhängig sind, scliliessen wir, dass es eine Berüh- 

 rungs-Transformation giebt, vermöge deren 



q' -h æ' r' = q + . ., 



r' = y + . , , ' 



æ'q' + I æ'"r' -= æq+ . ., 



g ■ æ' p' — y'q' -- æp — yq + ..^ 



ist. Wir schliessen ferner (Bd. III, p, 125), dass es eine 

 Pimfcf-Transformation giebt, welche die fünf letzten Gleichun- 

 gen erfüllt. Wir führen daher æ' y' z' als neue Variable ein, 

 und suchen die entsprechende Form der Grösse 



yp + . . -= S'p' + 7]' q' + <§' r'. 



Zur Bestimmung von B,' if und ^' erhalten wir (3) (5) (6) 

 zunächst die Gleichungen 



